Integral Substitution

20.12.2010, 16:43

Simooon

Integral Substitution

Zu berechnen ist
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\Pi}\sqrt{1-cos(t)}dt=4\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
Also nen Prog hat mir das Ergebnis ausgerechnet, aber ich will das von Hand auch hinbekommen.... schaff ich aber nicht.

Hier meine Rechnung. Wo liegt mein Fehler? Gibt es eine andere Substitution? Aber ich komme ja trotzdem auf ein Ergebnis

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\Pi}\sqrt{1-cos(t)}dt \end{eqnarray*}$
Substitution:

$\begin{eqnarray*} cos(t)=u\Rightarrow t=arcos(u) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dt=-\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}du \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow\int_{arcos(0)}^{arcos(2\Pi)}\sqrt{1-u}\left(-\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\right)du=-\int\left(\frac{1-u}{1-u^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}du=-\int\left(\frac{1}{1+u}\right)^{\frac{1}{2}}du=-\left[2\sqrt{1+u}\right]_{arcos(0)}^{arcos(2\Pi)}=-\left[2\sqrt{1+cos(t)}\right]_{arcos(0)}^{arcos(2\Pi)} \end{eqnarray*}$

und da kommt nicht $\begin{eqnarray*} 4\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ raus

20.12.2010, 17:22

corvus

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RE: Integral Substitution
.
vielleicht hilft dir das :
es ist

$\begin{eqnarray*} 1-cos(t) = 2\cdot \sin^2(\frac{t}{2} ) \end{eqnarray*}$

............................... smile

PS
gleich wird einer ein tohuwabou anrichten und behaupten:
Normal würde also als Lösung 0 rauskommen. geschockt

vergiss das .. dein Integrand hat keine Nullstelle in (0 ; 2pi) smile

20.12.2010, 17:24

tohuwabou

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RE: Integral Substitution
Also wenn ich das richtig seh, hat das Programm die Fläche berechnet und nicht den Integralwert.

Da
$\begin{eqnarray*} \sqrt{1-cos(t)} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} t=0,\frac{3\pi}{2} , .. \end{eqnarray*}$ Nullstellen hat, hat das Programm immer zwischen den Nullstellen also zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ die Flächen aufsummiert.

Normal würde also als Lösung $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ rauskommen.

Außerdem musst du auch ohne Grenzen substituieren, denke ich jedenfalls, da $\begin{eqnarray*} \arccos(2\pi) \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist.

Im letzten Schritt hast du rücksubstituiert, da musst du als Grenzen wieder $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nehmen.

20.12.2010, 17:41

Simooon

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RE: Integral Substitution

Zitat:

Original von corvus
.
vielleicht hilft dir das :
es ist

$\begin{eqnarray*} 1-cos(t) = 2\cdot \sin^2(\frac{t}{2} ) \end{eqnarray*}$

............................... smile

oh mann, das ist ja hinterhältig... damit geht das ja megaeinfach von der hand -.-

Wieder eine dieser Umformungen, bei denen man sich jedes mal sagt: "sowas darf ich nie mehr vergessen" und das nächste mal, wo man es wieder braucht ist es genau so lange her, dass man nicht mehr dran denkt.

cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)

Ok, super danke. Jetz habe ich die Aufgabe auch gelöst.... und ich dachte das wäre mal ein schönes Integral um mir die Substitutionsregel wieder in den Kopf zu rufen

20.12.2010, 17:43

René Gruber

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Noch ein Wort zu deinem ersten Versuch:

Zitat:

Original von Simooon
$\begin{eqnarray*} \cos(t)=u\Rightarrow t=\arccos(u) \end{eqnarray*}$

In dieser schlichten Zeile steckt - bezogen auf das hiesige Integral - schon ein riesiger Fehler: Die Implikation gilt nämlich nur für die untere Hälfte des Integrationsintervalls, also $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq \pi \end{eqnarray*}$ .

Für die obere Hälfte $\begin{eqnarray*} \pi\leq t\leq 2\pi \end{eqnarray*}$ gilt hingegen

$\begin{eqnarray*} \cos(t)=u\Rightarrow t=2\pi-\arccos(u) \end{eqnarray*}$ .

20.12.2010, 17:47

tohuwabou

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RE: Integral Substitution
@Simooon Sorry, habe was was Falsches erzählt, es kam mir so schlüssig vor. Augenzwinkern

Aber weiß jetzt wo ich mich vertan hab.

20.12.2010, 17:54

René Gruber

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Ja, die Integralgrenzen: Die müssen natürlich substituiert werden, aber dann doch bitte in der richtigen Richtung: Es handelt sich um eine Substitution $\begin{eqnarray*} t\to u \end{eqnarray*}$ , also geht Grenze $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} u=\cos(0)=1 \end{eqnarray*}$ über, usw.

Es handelt sich also um eine stattliche Anzahl von Fehlern, die sich hier aufgetürmt haben.

20.12.2010, 19:38

Simooon

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hier habe ich noch einen Versuch gestartet, kann man das so stehen lassen?

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi}\sqrt{1+t^{2}}dt=\int_{0}^{2\pi}\frac{1-t^{2}}{\sqrt{1-t^{2}}}dt \end{eqnarray*}$

Substitution

$\begin{eqnarray*} t=sin(u) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dt=cos(u)du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int\frac{\sqrt{1-sin^{2}(u)}}{1-sin^{2}(u)}cos(u)du=\int1du=\int_{0}^{2\pi}1dt \end{eqnarray*}$

EDIT: FEHLER Zähler und Nenner verdreht... oO einen moment

Also so sollte das sein

$\begin{eqnarray*} =\int\frac{1-sin^{2}(u)}{\sqrt{1-sin^{2}(u)}}cos(u)du=\int cos^{2}(u)du=\left[\frac{1}{2}cos(u)sin(u)+\frac{1}{2}u\right]=\left[\frac{1}{2}cos(arcsin(t))t+\frac{1}{2}arcsin(t)\right]_{0}^{2\pi} \end{eqnarray*}$

20.12.2010, 19:42

René Gruber

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Wieso wird aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+t^2} \end{eqnarray*}$ urplötzlich $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-t^2} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Falls es doch um $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+t^2} \end{eqnarray*}$ gehen sollte, wäre wohl eher Substitution $\begin{eqnarray*} t=\sinh(v) \end{eqnarray*}$ angemessen.

20.12.2010, 19:50

Simooon

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ach du liebe güte, was hab ich denn da angestellt....
ich wollte da ala 3. binomische formel erweitern... ganz großer unfug, den ich da angestellt habe.
Mann mann mann.
ok ich versuche es mal mit deiner vorgeschlagenen Substitution.

Mein Problem ist nur: Gibt es irgendeinen Trick um auf diese Substitution zu kommen?

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