Äquivalenzrelationen

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munich Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelationen
Hi Leute,
ich hab hier eine Aufgabe, bei der ich einfach keine Idee hab, vielleicht habt ihr nen Tipp und könnt mir auf die Sprünge helfen.
Vielen Dank !!!

Aufgabe:

Wieviele verschiedene Äquivalenzrelationen gibt es auf einer Menge mit 5 Elementen ?


Ich hab leider keine Idee wo ich da mit meinem Denken ansetzen soll.
thx,
cya Freude
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Was sind denn überhaupt Äquivalenzrelationen?

Schreib mal eine auf.

Und dann überlege dir, was für Möglichkeiten es da gibt.

mfG 20
munich Auf diesen Beitrag antworten »

okay,
also Äquivalenzrelationen sind reflexiv, transitiv und symmetrisch.
Mir fallen jetzt ein das = und vielleicht noch bei y = x mod n eben der rest bei der teilung, also die Teilbarkeit ?
Also Relationen, bei denen ich die Elemente vertauschen kann, sie verketten kann (aRb und bRc => aRc) und bei der ich praktisch aRa schreiben kann.

Aber wie komme ich jetzt von dort auf die Anzahl der Äquivalenzrelationen und vor allem was hat das mit den 5 Elementen in der Menge zu tun ?

Ich mein, klar, in einer einelementigen Menge gibt's nur eine Relation, hald "=". Aber wie geht's dann weiter ?

Danke für die Hilfe !
cya
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Überleg Dir mal wieviel 2 Stellige Relationen es überhaupt auf 5 Elementen geben kann. Zur Erinnerung eine Relation R ist eine Teilmenge eines kartesischen Produktes. Jetzt überleg Dir wieviel Elemente hat und dann hast Du schonmal die Anzahl der Relationen auf AxA (alle Möglichen Teilmengen von AxA Augenzwinkern ). Theoretisch müsstest Du die nur noch durchgehen Big Laugh , da das sehr viele sind, beschränke dich mal auf die Eigenschaften der Äquivalenzrelation.

edit:

Du solltest von dem Gedanken weg spezielle Äquivalenzrelationen anzugeben wie etwa "=". Du sollst allgemein die Menge der Äquivalenzrelationen bestimmen.
munich Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, okay, also insgesamt AxA müsste es ja dann 5! geben, kann das sein ? Und momentmal, da die Äquivalenzrelationen ja reflexiv sein müssen, gibt's dann nur 5 ?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo unbekannter Kommilitone bei Prof. Roesler,

die Aufgabe ist ziemlich gemein, wie ich finde. Es gibt genau 52 Möglichkeiten. Entweder, du schreibst sie dir alle explizit auf oder du überlegst dir eine rekursive Formel, die du erst beweist und dann benutzt Augenzwinkern Ich mache letzteres...


Gruß, therisen
 
 
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

naja, also alle aufschreiben muss man ja nicht...
(auch ohne die formel)

z.B. sind alle einzelnen paare a la (x,x) schonmal äqui.rel.... damit hat man schonmal 5.

mfG 20
munich Auf diesen Beitrag antworten »

hehe, ja, richtig, lin alg bei roesler Augenzwinkern

okay gut, die 5 versteh ich ja, aber wie genau kommst du jetzt auf die 52, wie müsste ich denn da vorgehn wenn ich dazu eine formel entwickeln will ? oder wie kann ich mir zumindest die anderen überlegen ? ich kann ja ned einfach die mächtigkeit der menge aller 2erpärchen nehmen, das wären ja dann keine äquivalenzrelationen.
thx
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