[Artikel] Taylorapproximation

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[Artikel] Taylorapproximation
Immer wieder tauchen im Forum Fragen bzgl. einer Taylorapproximation auf. In diesem Artikel sollen einige Beispiele durchgerechnet werden, sowohl im 1-, 2- und 3-Dimensionalen. In den ersten beiden Fällen soll auch eine grafische Veranschaulichung geleistet werden.

Inhalt:
  • Die Formel von Taylor, 1- und mehr-dimensional.
  • Beispiele

Für Anmerkungen und Korrekturen bin ich dankbar, einfach eine PN schreiben. Für Fragen einen entsprechend gekennzeichneten Thread eröffnen.
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Die Formel von Taylor
Die Formel von Taylor, eindimensional

Sei eine (n+1) - mal stetig differenzierbare Funktion, kurz . Dann gilt für alle aus I:



Wir nennen das n-te Taylorpolynom und
das n-te Lagrange-Restglied, wobei zwischen liegt. Das Restglied ermöglicht eine Berechnung des maximalen Fehlers, der durch die Approximation entsteht.
Es soll nicht unerwähnt bleiben, dass auch andere Darstellungen dieses Restgliedes existieren, die hier aber nicht betrachtet werden sollen.

Die Formel von Taylor, mehrdimensional

Im gilt .

Sei eine offene Menge und (n+1) - mal stetig differenzierbar, außerdem sei . Für gibt es ein , so dass gilt:



Dabei gilt:







Analog zu oben bezeichnen wir als n-tes Taylorpolynom und als Restglied.

Besonderes Augenmerk wollen wir auf das 2-te Taylorpolynom legen, da vor allem dieses in Übungsaufgaben (aber auch in formalen Beweisen bestimmter Sätze, beispielsweise in der Optimierung) eine Rolle spielt. Berechnet man mit obiger Formel , ergibt sich ( bezeichnet die Hessematrix an der Stelle des Entwicklungspunktes, den Gradienten, welchen wir als Zeile aufschreiben):
.

Der Beweis dieser Identität sei als Übungsaufgabe überlassen.
 
 
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Beispiele (eindimensional)
Beispiel 1

Wir betrachten die Funktion . Wir bestimmen das erste, zweite und dritte Taylorpolynom um 0 und berechnen den maximalen Fehler.

Es gilt:






Es folgt also





Betrachten wir nun die Funktion f und die verschiedenen Polynome zusammen in einem Koordinatensystem:


Der maximale Fehler, der bei der Approximation durch das n-te Taylorpolynom entsteht, wird durch das jeweils zugehörige Restglied beschrieben, also:

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Beispiele (zweidimensional)
Beispiel 2

Gegeben ist

Wir bestimmen das zweite Taylorpolynom um (0,0). Dazu:









[attach]17301[/attach]

Beispiel 3

Wir betrachten und approximieren die Funktion um (0,0).









[attach]17460[/attach]

Beispiel 4

Die letzte Funktion, die wir untersuchen, ist . Wir approximieren die Funktion um (0,0).








[attach]17308[/attach]
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Beispiele (dreidimensional)
Beispiel 5

Ein dreidimensionales Beispiel sei durch die Funktion gegeben. Wir bestimmen das 2-te Taylorpolynom um (1,2,0).







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