Separationsansatz mit Randbedingungen

20.11.2006, 21:24

funk_infect

Separationsansatz mit Randbedingungen

In Theoretischer Physik sollen wir ein Problem mit Separationssatz lösen.

Wir betrachten den $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ im Bereich $\begin{eqnarray*} (x,y,z)\in[0,a]\times[0,a]\times(-\infty,+\infty) \end{eqnarray*}$ , also ein Quadrat in der x-y-Ebene und beliebige z-Orte.

Ich soll Potential $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ mit dem Separationsansatz lösen
$\begin{eqnarray*} \varphi(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z) \end{eqnarray*}$

Meine Randbedingungen sind:

$\begin{eqnarray*} x=0: \varphi=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=a:\varphi=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=0:\varphi=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=a: \varphi=\varphi_0 \end{eqnarray*}$

In einem ersten Aufgabenteil soll gezeigt werden, dass das Potential nicht von z abhängen kann. Das ist ein eher physikalisches Problem und tut hier nichts zur Sache. Angenommen, ich hätte das gezeigt, sodass ich schreiben kann:
$\begin{eqnarray*} \varphi=\varphi(x,y) = X(x)Y(y)Z~~~~~~(0) \end{eqnarray*}$ ,
dann bin ich der Meinung, meine Randbedingungen führen zu einem Widerspruch, sie würden jetzt lauten:

$\begin{eqnarray*} \forall x,y\in [0,a]: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X(0)Y(y)Z=0~~~~~~(1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X(a)Y(y)Z=0~~~~~~(2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X(x)Y(0)Z=0~~~~~~(3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X(x)Y(a)Z=\varphi_0~~~~~~(4) \end{eqnarray*}$

Wegen (4) ist $\begin{eqnarray*} Z\neq 0 \end{eqnarray*}$ Dann muss wegen (4) auch gelten: $\begin{eqnarray*} \forall x\in[0,a]:X(x)=\frac{Z\varphi_0}{Y(a)}=konst\neq 0 \end{eqnarray*}$ Dann müsste aber wegen (1) gelten $\begin{eqnarray*} \forall y\in[0,a]:Y(y)=0 \end{eqnarray*}$ . Dann währe aber auch $\begin{eqnarray*} Y(a)=0 \end{eqnarray*}$ und 4 währe verletzt, da $\begin{eqnarray*} \varphi_0 \end{eqnarray*}$ beliebig ist.

Ich hoffe es ist halbwegs nachvollziehbar, aber es scheint, als ob mein System mehr Randbedingungen stellt, als erlaubt sind.
Ich bin dankbar für jeden Tipp.

20.11.2006, 22:19

Abakus

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RE: Separationsansatz mit Randbedingungen

Zitat:

Original von funk_infect
dann bin ich der Meinung, meine Randbedingungen führen zu einem Widerspruch, sie würden jetzt lauten:

$\begin{eqnarray*} \forall x,y\in [0,a]: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X(0)Y(y)Z=0~~~~~~(1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X(a)Y(y)Z=0~~~~~~(2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X(x)Y(0)Z=0~~~~~~(3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X(x)Y(a)Z=\varphi_0~~~~~~(4) \end{eqnarray*}$

Wegen (4) ist $\begin{eqnarray*} Z\neq 0 \end{eqnarray*}$ Dann muss wegen (4) auch gelten: $\begin{eqnarray*} \forall x\in[0,a]:X(x)=\frac{Z\varphi_0}{Y(a)}=konst\neq 0 \end{eqnarray*}$ Dann müsste aber wegen (1) gelten $\begin{eqnarray*} \forall y\in[0,a]:Y(y)=0 \end{eqnarray*}$ . Dann währe aber auch $\begin{eqnarray*} Y(a)=0 \end{eqnarray*}$ und 4 währe verletzt, da $\begin{eqnarray*} \varphi_0 \end{eqnarray*}$ beliebig ist.

Erstmal zurückgefragt: das $\begin{eqnarray*} \varphi_0 \end{eqnarray*}$ soll eine Konstante sein oder ist das eher eine vorgegebene Funktion ? (Dann würde es ja passen ?)

Ansonsten muss das Z in deiner Formel im Nenner stehen, was hier aber wohl nicht wichtig ist.

Grüße Abakus smile

20.11.2006, 22:20

funk_infect

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ergänzung
falls es wichtig ist, die zu lösende Gleichung ist die Laplace Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \Delta \varphi = 0 \end{eqnarray*}$ woraus aus den gegebenen Dingen folgt: $\begin{eqnarray*} \frac{X''}{X}=\lambda^2, \frac{Y''}{Y}=-\lambda^2 \end{eqnarray*}$

Wenn ich den Ansatz $\begin{eqnarray*} X=e^{\pm \lambda x}, Y=e^{\pm i \lambda y} \end{eqnarray*}$ wähle, ergeben die Randbedingungen aber keinen Sinn. Beispielsweise müsste nach (1) gelten $\begin{eqnarray*} e^{\lambda 0}=0 \end{eqnarray*}$ . Weiterhin gilt meine Dankbarkeit für jede Hilfe.

20.11.2006, 22:22

funk_infect

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hmm..
okay, der Fehler mit dem Z ist da, aber wie gesagt unwichtig. $\begin{eqnarray*} \varphi_0 \end{eqnarray*}$ ist eine Konstante und ich nehme an ungleich Null. Die Aufgabe könnte zwar auch für Null gelöst werden, währe aber sinnlos.

20.11.2006, 23:01

Abakus

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RE: hmm..
Also deine Randbedingungen sind nicht gerade glatt, du hast in (0, a) und (a, a) jeweils Sprünge. Wenn $\begin{eqnarray*} \varphi_0 \end{eqnarray*}$ eine Funktion und in diesen Punkten gleich 0 (und hinreichend glatt) wäre, gäbe es eine Lösung mit dem Produktansatz.

So sieht die Sache schwieriger aus; wie soll sich deine Lösung denn in diesen Randpunkten verhalten ? (normalerweise ist zumindest 2-mal stetig differenzierbar gefordert)

Grüße Abakus smile

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