Konvergenz einer Matrixfolge

20.12.2010, 20:08

Moritz87

Konvergenz einer Matrixfolge

Hallo

Meine Frage:
Ich habe folgende Matrix A gegeben: $\begin{eqnarray*} A = \begin{vmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ Nun möchte ich prüfen, ob die Folge $\begin{eqnarray*} x^{k+1} = Ax^{k}- y \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} x^(0),y \in IR^2 \end{eqnarray*}$ bzgl. der Maximumsnorm konvergiert.

Genügt es den Spektralradius zu bestimmen und zu zeigen, dass dieser kleiner als Eins ist? Da A symetrisch gilt dann nicht auch dass die Maximumsnorm der Matrix A gleich dem Spektralradius ist?
moritz

20.12.2010, 23:23

tigerbine

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RE: Konvergenz einer Matrixfolge
[WS] Fixpunktiterationen und ff.

Zitat:

Genügt es den Spektralradius zu bestimmen und zu zeigen, dass dieser kleiner als Eins ist?

http://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktiteration

Ja, aber man muss i.A. noch weitere Überlegungen anstellen. Man weiß

$\begin{eqnarray*} \rho(A)\leq \|A\| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \|A\| \leq \rho(A) + \varepsilon,~\varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$

Du kannst die Symmetrie ausnutzen. Die Spektral ist gleich dem Betragsmäßig größten EW von A.

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