Einführung der reellen Zahlen |
| 20.12.2010, 20:10 | AB123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Einführung der reellen Zahlen muss demnächst eine Ausarbeitung zum Thema Einführung der reellen Zahlen schreiben. Möchte dabei auf die 3 Konstruktionsmethoden über Intervallschachtelungen, Dedekindsche Schnitte und Grenzwerte von Folgen eingehen. Habe bis jetzt in Vorlesungen nur die letzte Variante gehört. Hat jemand von euch vielleicht einen guten Link oder Literaturtipp oder ein Skript, in dem die Methoden vorgestellt werden. Wichtig sind dabei Unterschiede, Vor- und Nachteile der Verfahren, wie werden Addition etc. eingeführt usw. Außerdem soll ich noch auf die Reihendarstellung eingehen, hab schon gegoogelt, aber der Begriff sagt mir grad nix im Bezug auf reelle Zaheln. Vielen Dankl schonmal für eure Antworten!! |
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| 20.12.2010, 20:29 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich hätte einen Literaturtipp: Ebbbinghaus et al. - Zahlen Ich weiß nicht, ob du ein Skript finden wirst, wo alle 3 Methoden vorgestellt werden, da man sich ja in einer entsprechenden Vorlesung nur auf eine Methode beschränkt. Vor- und Nachteile sieht man ja meist sofort daran, wie kurz die jeweligen Definitionen für Rechenregeln, Anordnungen, etc. und die respektiven Beweise sind. 
Z.b. bekommt man bei den Dedekindschen Schnitten die Anordnung quasi geschenkt. Bei den Fundamentalfolgen sicher nicht. Bei den Intervallschachtelungen hingegen bekommt man z.b. die Überabzählbarkeit sehr leicht. |
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| 21.12.2010, 09:39 | AB123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für die schnelle Antwort :-) Das Buch hab ich mir schon bestellt, aber dann scheint es ja ganz gut zu sein!! Wenn noch jemand was mit Reihendarstellung in dem Zusammenhang anfangen kann, wär ich sehr dankbar für nen Tipp. Ansonsten setz ich mich erstmal an die 3 Methoden!! Liebe Grüße |
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| 21.12.2010, 19:33 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Intervallschachtelungen und Dedekindsche Schnitte : Ja. Grenzwerte von Folgen : Nein. Das geht ja gerade so nicht, denn ein Grenzwert muss in der Menge liegen, die man betrachtet. Reelle Zahlen sind nicht Grenzwerte von rationalen Zahlen, solange man nur rationale Zahlen hat. Da liegt das Problem der Einführung von reellen Zahlen. Lösung des Problems: Man nehme Cauchyfolgen rationaler Zahlen, bilde in der Menge der Cauchyfolgen rationaler Zahlen die Äquivalenzrelation a~b gdw a und b unterscheiden sich nur um eine Nullfolge. Die Äquivalenzklassen sind reelle Zahlen. Kurz : Cauchyfolgen modulo Nullfolgen. (siehe Ebbinghaus et al. "Zahlen" Kapitel 2 "Reelle Zahlen" § 3 "Fundamentalfolgen") Reihendarstellung ist prima. Dabei musst du mindestens die Darstellung reeller Zahlen als unendliche Dezimalbrüche erwähnen. Da sieht man wieder, dass 1,00000... =0,99999... sich nur um eine Nullfolge unterscheidet, mithin als Cauchyfolge modulo Nullfolge dieselbe reelle Zahl repräsentiert. |
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| 22.12.2010, 20:35 | AB123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Habe das mit der Reihendarstellung jetzt auch gefunden, einfach die unendliche Reihendarstellung :-) Stand da wohl irgendwie auf dem Schlauch!! Warte noch auf das Buch von Ebbinghaus, hab aber auch noch ein paar andere ausgeliehen... Bin mit den Dedekindschen Schnitten angefangen, hab unterschiedliche Definitionen gefunden...(Hoffe ihr könnt es lesen, kann leider noch nicht mit dem Formeleditor umgehen....) Meist geben sie 3 Bedingungen für einen Schnitt an: Man braucht eine Teilmenge "Alpha" der rationalen Zahlen Dann nimmt man das Komplement Q ohne Alpha Und wenn man (r,s) aus dem kartesischen Produkt "Alpha" x (Q ohne Alpha) betrachtet gilt r ist kleiner als s In einigen Definitionen für "Alpha" stand : {r aus Q| r ist kleiner gleich q} und bei anderen dann {r aus Q| r ist kleiner als q} Ist das egal, ob q zur Menge Alpha oder zur Menge Q ohne Alpha gehört? Und die rellen Zahlen sind da ja nicht alle möglichen Schnitte sondern die Schnittzahlen, oder? Was mich irritiert ist, dass zum Teil ein Schnitt als Teilmenge Alpha bezeichnet wird und zum Teil dann auch nur das Supremum bzw. Infinum der Mengen... Und vielleicht ne blöde Frage, aber wie kann man sich sicher sein, dass man so alle reellen Zahlen erhält, anschaulich ist mir das klar, weil so ein Schnitt ja die Zahlengrade in 2 Teile schneidet und die reellen Zahlen ja gerade die Zahlengerade sind... Und nochwas: Man geht bei Alpha immer von den rationalen Zahlen aus und erhält dann die rellen, oder? Und als allerletztes: Wenn ich eine konkrete reelle Zahl als Schnitt angeben will, z.B. Pi, wie gehe ich dann vor? Vielen Dank schonmal!! |
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| 23.12.2010, 13:19 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vorsicht mit der Anschauung und der Zahlengeraden. Das geht aus heutiger Sicht gut, nachdem die reellen Zahlen auf vielfache Weise definiert und alle diese Definitionen als äquvalent erwiesen sind. Wir wissen heute, dass es bis auf Isomorphie nur einen vollständigen angeordneten Körper über den rationalen Zahlen bezüglich des Absolutbetrages gibt, und das sind eben die reellen Zahlen. Wenn du einen Vortrag über die Einführung der reellen Zahlen halten möchtest, musst du dich in die Zeit versetzen, als das alles noch nicht bekannt war. Du kennst nur die rationalen Zahlen und hast Probleme mit quadratischen Gleichungen und deren Nullstellen (heute völlig klar: ) und die transzendenten Zahlen (z.B. ) sind voller Geheimnisse. |
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