Gleichung der Tangente im Kreispunkt |
| 20.11.2006, 22:00 | noxia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Gleichung der Tangente im Kreispunkt Ich hab keine Frage zu einer bestimmten Aufgabe, sondern zur Gleichung einer Tangente im Kreispunkt allgemein. Die geht ja: x mal x1 + y mal y1=r^2 Wieso heißt sie nicht einfach x^2 + y^2=r^2 ? Mit (x|y) sind doch die Koordinaten eines Kreispunktes und mit (x1|y1) die Koordinaten des Berührungspunkt der Tangente mit dem Kreis gemeint. Und weil dieser Berührungspunkt selbst ein Kreispunkt ist, ist also x=x1. Wieso unterscheidet man zwischen x und x1 und y und y1? Ich hoffe, ihr versteht, was ich meine, ich kann das nicht so gut erklären. Schon mal im Vorraus danke für eure Hilfe! |
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| 20.11.2006, 22:21 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Ich denke, dass mit (x/y) ein Punkt der Tangente gemeint ist, und nicht ein allgemeiner Kreispunkt. Arbeitet ihr zufällig mit dem Lambacher Schweizer Buch ? Gruß Björn |
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| 20.11.2006, 22:48 | noxia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! Danke für die schnelle Antwort. Nein, wir arbeiten mit "Elemente der Mathematik" vom Schroedel-Verlag. Du meinst, mit (x|y) ist irgendein Punkt auf der Tangente gemeint, der nicht auf dem Kreis liegt? Aber dann könnte man ihn doch nicht in die Kreisgleichung einsetzten, oder? Ich geb dir mal ein Beispiel, wie wir die Formel in einer Aufgabe angewendet haben: Gib für die die Tangente an den Kreis im Kreispunkt P die Gleichung in der Form x mal x1 + y mal y1 =r^2 an. Überführe anschliepend in die Normalform. x^2 +y^2=25 ; P(3|4) Dann setzt man die Punkte ein. (x-3)(11-3)+(y-1)(7-1)=100 8x-24+6y-6=100 Durch weiteres Umformen ergibt sich dann: y=- 4/3 x +65/3 Ich kann mir den Rechenweg schon irgendwie merken, aber ich würd auch gerne verstehen, wieso man das so rechnet. |
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| 20.11.2006, 23:05 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für dein Beispiel gilt aber doch einfach : 3x+4y=5 <=> y=5/4 - (3/4)x Wie kommst du denn auf deinen Rechenweg ? Gruß Björn |
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| 20.11.2006, 23:23 | noxia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh, entschuldigung! Da bin ich beim Abschreiben aus dem Buch in der Zeile verrutscht. Der Rechenweg war von der Aufgabe da drunter. Bei der Aufgabe ist deine Lösung natürlich richtig. Und jetzt, wo ich die einfachere Aufgabe sehe, versteh ich auch, was x und y ist. Der Lehrer hätte mit uns erst mal die einfache Aufgabe rechnen sollen, als gleich mit der komplizierteren mit verschobenem Mittelpunkt anzufangen. Also, danke nochmal für deine Hilfe! |
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| 20.11.2006, 23:29 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Keine Ursache 
Ich hab dir mal eine Skizze gemacht die verdeutlichen soll, wie man diese Tangentenformel herleitet. Übrigens gilt das hier
nur, wenn der Kreismittelpunkt der Ursprung (0/0) ist. Zur Herleitung der Tangentengleichung an den Kreis in einem bestimmten Berührpunkt B nimmt man als Ansatz, dass der Vektor MB und BX senkrecht aufeinander stehen, weswegen ihr Skalarprodukt null ergibt: Nun kann den Vektor BX=x-b ja noch durch MX und MB ausdrücken Daraus folgt dann durch ersetzen von x-b in der Ausgangsgleichung Weiter zusammengefasst erhält man dann Und damit Falls der Kreismittelpunkt jetzt (0/0) ist folgt Oder in Koordinatenschreibweise Aber allgemein gilt natürlich die Koordinatengleichung |
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| 21.11.2006, 12:51 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Pol(x1,y1), Kreis(0|0, r) x*x1 + y*y1 = r^2 Das ist übrigens keine Tangentengleichung, sondern das ist die Gleichung der Polaren, die halt nur für den Fall 'Pol auf Kreislinie' mit der Tangente in diesem Punkt zusammenfällt. |
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