Abschätzung bei Cauchy-Integralformel

20.12.2010, 22:04

FMJ

Abschätzung bei Cauchy-Integralformel

Meine Frage:

Ich arbeite an dieser Aufgabe:

Prove that if f (z) is analytic in the whole complex plane, and |f (z)| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ M $\begin{eqnarray*} |z|^{\alpha} \end{eqnarray*}$ , then
$\begin{eqnarray*} f(z) = a_{n} z_{n} +<br /> a_{n-1} z_{n-1} +...+ a_{1} z_{1} + a_{0} \end{eqnarray*}$ , where n = [ $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ].

Um den Beweis zu führen bin ich von der Cauchy-Integralformel ausgegangen. Die Idee ist den Betrag der Ableitungen von f(z) abzuschätzen. Ist die jeweilige Ableitung kleiner als eine Konstante, dann ist sie konstant. Geht der Betrag gegen null, dann verschwindet sie komplett aus der Reihenentwicklung von f(z). Mit ein bisschen umformen komme ich von

$\begin{eqnarray*} | f^{(n)}(z_{0})|= |\frac{n!}{2\pi i} \int_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz| \end{eqnarray*}$

auf
$\begin{eqnarray*} <br /> \leq |\frac{n!}{2\pi i}| | l(\gamma) sup |\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}| \end{eqnarray*}$

Nun kann man |z-z_{0}| mit R ersetzen, den Radius des Kreises den ich für den Weg angenommen habe. l( $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ) ist gerade die Länge des Weges, was man auch noch ausschreiben könnte und f(z) schätze ich durch M |z $\begin{eqnarray*} |^{\alpha} \end{eqnarray*}$ ab.

Und jetzt kommt mein Problem. Ich schaffe es nicht $\begin{eqnarray*} |z|^{\alpha} \end{eqnarray*}$ passend abzuschätzen. Ich bräuchte etwas wie $\begin{eqnarray*} R^{\alpha} \end{eqnarray*}$ + was auch immer, dann könnte ich eine sehr schöne Fallunterscheidung machen und mir wurde auch schon zugeflüstert das die Lösung so aussehen soll, aber ich komme nicht drauf. $\begin{eqnarray*} |z|=|R+z_{0}| \end{eqnarray*}$ war der erste Gedanke, aber damit komme ich nicht weit. Jede Hilfe wäre mir willkommen

MfG Philipp

21.12.2010, 02:27

gonnabphd

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Hi Philipp,

Bis jetzt hast du:

$\begin{eqnarray*} \left| f^{(n)}(z_{0}) \right| \leq \left| \frac{n!}{2\pi i} \right| \left| l(\gamma) \right| \sup \left| \frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}} \right| \end{eqnarray*}$

Noch $\begin{eqnarray*} R = z-z_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |f(z)| \le M \left| R + z_0 \right|^\alpha \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} l(\gamma) = 2\pi R \end{eqnarray*}$ eingesetzt (wie du ja vorgeschlagen hattest) ergibt:

$\begin{eqnarray*} \left| f^{(n)}(z_{0}) \right| \leq C \frac{\left| R + z_0 \right|^{\alpha}}{R^{n}} \end{eqnarray*}$

mit einer Konstanten C.

Jetzt bist du aber schon fast fertig! Was passiert denn, wenn du R mal ein bisschen kleiner oder grösser machst? Was passiert mit der linken Seite, was mit der rechten Seite dieser letzten Abschätzung?

Gruss, Wink

Edit:

Zitat:

where n = [ $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ].

Wird hier auf- oder abgerundet? Wenn abgerundet wird, solltest du lieber die (n+1)-te Ableitung betrachten.

21.12.2010, 11:50

FMJ

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Herzlichen Dank für die Antwort gonnabphd,

Natürlich kann ich nun den Radius gegen unendlich laufen lassen, dass würde dann dazu führen das $\begin{eqnarray*} z_{0} \end{eqnarray*}$ klein wird gegenüber R und ich die Fallunterscheidung je nach $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ machen kann. Aber was wenn R kleiner ist als $\begin{eqnarray*} z_{0} \end{eqnarray*}$ ? Ich kann das ja genauso beliebig wählen.

Ich vermute ich stehe grade einfach auf dem Schlauch. Wenn ich nur R betrachte und annehme $\begin{eqnarray*} z_{0} \end{eqnarray*}$ ist kleiner als R dann ist die Aufgabe ja eigentlich schon erledigt, da dann ja alle Ableitungen und damit Glieder in der Potenzentwicklung von f(z) jenseits von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ verschwinden.

21.12.2010, 16:23

gonnabphd

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Hi,

Ich verstehe jetzt, was du (noch) nicht siehst. Ich versuch' dich mal hinzuschubsen:

Hängt R von $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ ab?
Hängt $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ von R ab?
Hängt R vom Weg ab?
Darf man im Integralsatz von Cauchy den Weg beliebig wählen?

21.12.2010, 18:44

FMJ

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Hallo gonnabphd,

Ich habe mir nochmal die Passage im Skript durchgelesen und versuche mal nach besten Wissen und Gewissen zu antworten.

1. Nein. R bezeichnet nur den Radius des Kreises, den ich um den Punkt $\begin{eqnarray*} z_{0} \end{eqnarray*}$ ziehe.
2. Nein. Die selbe Begründung wie oben. Soweit ich das verstehe, sind die beiden ohne einen direkten Zusammenhang
3. Ja, in dem Sinn, dass der Radius des Kreises variiert, je nachdem wie groß ich den Kreis mache.
4. Solange er geschlossen ist und den Punkt $\begin{eqnarray*} z_{0} \end{eqnarray*}$ enthält kann ich ihn sonst beliebig groß machen und verformen (unter Erhaltung der Windungszahl von 1).

Ich vermute stark, dass mein Fehler bei Punkt 1 und 2 liegt. Ich verstehe wohl etwas an der Definition schon nicht richtig, sonst würde ich wohl sehen, was du mir zeigen willst.

Danke für die Hilfe.

22.12.2010, 03:22

gonnabphd

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Hi FMJ,

Perfekt. Alles korrekt.

Schauen wir uns also nochmal die Abschätzung an (vielleicht schauen wir uns besser die (n+1)-ste Ableitung an - es geht auch mit der n-ten, aber das ist weniger gut ersichtlich). Wir nehmen also ein fixes $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ und bekommen:

$\begin{eqnarray*} \left| f^{(n+1)}(z_{0}) \right| \leq C \frac{\left| R + z_0 \right|^{\alpha}}{R^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Nach deinen Antworten zu den Fragen können wir R auf der rechten Seite beliebig gross oder klein wählen, ohne die linke Seite zu beeinflussen (denn für fixes $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ verändert sich die linke Seite natürlich nicht).

Könnte die linke Seite also positiv sein? Warum? Warum nicht?

Also ...?

22.12.2010, 17:28

FMJ

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Hallo gonnabphd,

Ich denke ich verstehe meinen Denkfehler langsam. Mich hat bisher die freie Wählbarkeit von $\begin{eqnarray*} z_{0} \end{eqnarray*}$ aus dem Konzept gebracht. Da aber $\begin{eqnarray*} z_{0} \end{eqnarray*}$ , wenn einmal gewählt, ja konstant bleibt, kann ich zu jedem $\begin{eqnarray*} z_{0} \end{eqnarray*}$ einen Radius wählen, der deutlich größer ist. Die Abschätzung muss ja für jedes R gelten, egal wie groß. Damit ist der Rest der Aufgabe auch einfach. Je nach $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist der Betrag der Ableitung entweder durch eine Konstante begrenzt oder gleich null. Wenn er Betrag null ist, dann verschwindet die Ableitung und wir haben das entsprechende Glied in der Potenzreihenentwicklung nicht mehr. Ist er begrenzt durch eine Konstante, ergibt sich grade irgendein Vorfaktor für die entsprechenden Glieder. Damit wäre der Beweis fertig.

Ich denke, ich habs. Danke nochmal.

22.12.2010, 19:27

gonnabphd

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Genau so ist das. smile

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