Matrixdarstellung

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KnightofCydonia Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixdarstellung
Meine Frage:
Ich habe die Abbildung gegeben. Diese ist diagonalisierbar, da eine Basis aus Eigenvektoren ist und es gilt
Ich wollte nachrechnen, ob das tatsächlich stimmt und bin offenbar auf ein Verständnisproblem gestoßen. Es gilt f(1,1)=(2,2) (und nicht (2,0) ?) und f(0,1)=(0,1). Dann müsste doch gelten oder?

Meine Ideen:
Die Spaltenvektoren einer Matrix sind ja die Bilder der Basisvektoren. Ich habe dann versucht mit Basiswechselmatrizen nachzurechnen, aber stoße natürlich auf das gleiche Problem.
Nun gilt ja die Gleichung und als zweite Basis B' habe ich die Standardbasis genommen, also
Als Basiswechselmatrizen erhalte ich und indem ich einmal die Basisvektoren der Basis B' als Linearkombination der Basisvektoren von B dargestellt habe und umgekehrt. Es gilt und .
Damit ist
Ich habe mir auch schon ausgerechnet, dass für a=2, b=-1, C=0, d=1 gelten muss nur wie komme ich auf diese Matrix??
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

ich denke, dass du es dir (unnötig) schwer machst.

die abbildungsmatrix deiner abbildung ist (bezüglich der standardbasis) direkt erkennbar, nämlich .

nun kannst du einfach den weg über das char. polynom gehen, nämlich .

die eigenwerte sind direkt aus dem char. polynom ablesbar, nämlich 2 und 1.
diese stehen in deiner diagonalmatrix auf der diagonalen.

nun kannst du auch die entsprechenden basiswechselmatrizen bestimmen.
für die ähnlichkeitstransformation muss gelten, wobei D die diagonalmatrix, A die abbildungsmatrix deiner abbildung und T die entsprechende basiswechselmatrix ist.

in deiner basiswechselmatrix stehen die eigenvektoren der abbildung in den spalten, d.h. T=.
lässt sich mit bekannten mitteln berechnen.

übrigens: für einen eigenvektor gilt per definition , wobei v der eigenvektor und a der zugehörige eigenwert ist.
d.h. wenn du überprüfen möchtest, ob ein eigenvektor ist, erhälst du, wie du schon richtig geschrieben hast, f(1,1)=(2,2), also 2*(1,1).
KnightofCydonia Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erstmal für die rasche Antwort smile
Ja, das mit den Eigenvektoren, Eigenwerten, etc. ist mir (hoffe ich) eh klar. Wie gesagt wollte ich bloß nachrechnen ob nun tatsächlich eine Matrixdarstellung für meine Abbildung ist (ganz ohne Eigenvektoren oder Eigenwerte zu verwenden).

Ist nun , wie du sagst, und nicht , wie ich geschrieben habe, dann ist und damit

Ich spüre schon, ich bin der Lösung deutlich näher, aber da stimmt doch immernoch irgendwo etwas nicht.

Btw,
Zitat:
Als Basiswechselmatrizen erhalte ich und indem ich einmal die Basisvektoren der Basis B' als Linearkombination der Basisvektoren von B dargestellt habe und umgekehrt.

Stimmt das denn nicht?
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

dass du in beiden fällen unterschiedliche diagonalmatrizen erhälst liegt daran, dass die reihenfolge, in der die eigenvektoren in die basiswechselmatrix geschrieben werden, nicht eindeutig ist.
wenn du die reihenfolge der eigenvektoren in der matrix T umdrehst, erhälst du die von dir gepostete diagonalmatrix.

da ich momentan selber noch keine lineare algebra vorlesung habe, kann ich momentan nicht sagen, ob die reihenfolge eine gewisse rolle spielt. meiner vermutung nach aber ist dies nicht der fall.

was deine basiswechselmatrizen angeht:

du musst dir klar machen, was deine basiswechselmatrix mit der gegebenen matrix machen soll.
die basiswechselmatrizen sollen eine vorhandene matrix in diagonalform überführen, das heißt, du darfst als zweite basis "nicht einfach" eine beliebige standardbasis nehmen, sondern musst eine basis aus eigenvektoren nehmen.

denn es gilt der bekannte satz: eine lineare abbildung ist genau dann diagonalisierbar,wenn eine basis aus eigenvektoren existiert, bezüglich derer die abbildungsmatrix der linearen abbildung diagonalgestalt hat.

das heißt, ersetze B' durch eine basis aus eigenvektoren, wörtlich und unsauber formuliert läuft der basiswechselvorgang dann so ab:

du steckst einen vektor bezüglich der basis aus eigenvektoren hinein, und deine matrix T wandelt ihn dir um in die koordinaten bezüglich der basis B.
als nächstes kommt der vektor in koordinaten bezüglich B in die matrix A, und du erhälst das bild von dem gegebenen vektor, wiederum in koordinaten bezüglich B.
zum schluss wird der vektor, der immer noch in koordinaten bezüglich B ist, in die Koordinaten bezüglich der basis aus eigenvektoren gebracht, durch die Matrix .

um "arbeit zu sparen", lässt sich der gesamte vorgang durch eine einzige matrix beschreiben, nämlich die diagonalmatrix D.
KnightofCydonia Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Das lässt sich nun alles für mich nachvollziehen, und höchstwahrscheinlich spielt die Reihenfolge der Eigenvektoren in der Basiswechselmatrix wirklich keine Rolle.

Nur sollte nicht egal sein, welche Basisvektoren ich für B' wähle? Schließlich ist ja der Sinn von der ganzen Rechnung dass ich die Matrixdarstellung für eine Basis B' eben wechsle auf eine Matrixdarstellung für die Basis B...
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

der sinn von der ganzen rechnung ist, salopp gesagt, dass du die vorgegeben matrix in möglichst einfache gestalt bekommst, und das ist gerade eine diagonalmatrix.

wenn es um die diagonalisierbarkeit geht, dann ist es nicht egal, welche basis du dafür wählst.

die basis muss aus eigenvektoren bestehen, damit du am ende eine diagonalmatrix erhälst.

(wohlmöglich gibt es glückliche zufälle, bei denen auch eine andere basis zum gewünschsten ergebniss verhilft, diese sind mir aber bisher nicht untergekommen)
 
 
KnightofCydonia Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann mich nur noch einmal für deine Hilfe bedanken! Jetzt nerv ich wahrscheinlich schön langsam smile
Zitat:
in deiner basiswechselmatrix stehen die eigenvektoren der abbildung in den spalten, d.h. T=.


Diese Basiswechselmatrix schreibe ich als
Das heißt sie ist entstanden indem ich B' als Linearkombination der Vektoren von B schreibe, also

und
Daher ist
und das ist auch keine Basis, die (nur) aus Eigenvektoren besteht.
KnightofCydonia Auf diesen Beitrag antworten »

Nein falsch verkehrt herum.
und

und
Daher ist
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe momentan nicht so ganz, was du da machst.

du hast in deinem ersten post die Basis B' als basis bestehend aus den eigenvektoren der matrix gebildet. nun möchtest du in eine weitere basis, bestehend aus (anderen) eigenvektoren wechseln.

in diesem beispiel handelt es sich aber um eine 2x2 matrix, d.h. wir haben 2 eigenvektoren(da die matrix diagonalisierbar, muss die anzahl der vorhandenen linear unabhängigen eigenvektoren = n sein).

könntest du noch einmal posten, was du genau mit B, B' und der rechnung bezüglich des basiswechsel meinst?
KnightofCydonia Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es eine Basis gibt, die nur aus Eigenvektoren besteht, dann ist die Matrix diagonalisierbar. Das heißt aber nicht, dass die Basis für meine Diagonalmatrix der Form aus den Vektoren und bestehen muss, oder? Es können ja irgendwelche anderen Eigenvektoren sein.
Das war mein Denkfehler.
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