Wurzel einer komplexen Zahl

20.12.2010, 22:57

allahahbarpingok

Wurzel einer komplexen Zahl

Hallo,

ich habe ein Problem mit folgender komplexen Zahl und soll die Wurzel ziehen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{-1 +\sqrt {3}*i} {2}} \end{eqnarray*}$

Der Betrag der komplexen Zahl unter der Wurzel ist 1.

Eulersche Form:

$\begin{eqnarray*} e^\frac{i*Phi} {2} \end{eqnarray*}$

Jetzt komme ich leider nicht auf das Argument Phi. Wenn ich mir das in der Gaußschen Zahlenebene veranschauliche, komme ich drauf, dass man einen Winkel Alpha mit dem Sinus berechnen könnte und dann auf Phi schließen. Das Problem ist dann, dass ich $\begin{eqnarray*} arcsin(-\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ berechnen muss, was nicht geht. Gibts da eine andere Möglichkeit?

20.12.2010, 23:26

corvus

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RE: Wurzel einer komplexen Zahl

Zitat:

Original von allahahbarpingok

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{-1 +\sqrt {3}*i} {2}} \end{eqnarray*}$

du suchst die Lösungen von z²= a mit
$\begin{eqnarray*} a=-\frac{1}{2} +i\cdot \frac{\sqrt{3} }{2} = \cos(\beta )+ i \cdot \sin(\beta ) \end{eqnarray*}$

das Argument von a (also der Winkel ) ist ß=120°

also
$\begin{eqnarray*} z^2 = \cos(\frac{2\pi }{3}+2k\pi )+ i \cdot \sin(\frac{2\pi }{3}+2k\pi ) = e^{i\cdot (\frac{2\pi }{3}+2k\pi ) } \end{eqnarray*}$

hat allah..jetzt die Eingebung,
wie die beiden Lösungen für z aussehen könnten? smile

20.12.2010, 23:28

allahahbarpingok

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Fast, wenn du mir noch sagst, wie du auf das Argument kommst, ist alles klar. Tanzen

20.12.2010, 23:40

corvus

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Zitat:

Original von allahahbarpingok
..
kommst, ist alles klar.

trage in einem Einheitskreis den Punkt $\begin{eqnarray*} P\left(-\frac{1}{2} ; \frac{\sqrt{3} }{2}\right) \end{eqnarray*}$ ein

und dann darfst du dreimal raten, wie gross der von der positv reellen Achse aus
gemessene Winkel ß zu diesem Punkt $\begin{eqnarray*} P\left(\cos(\beta ) ; \sin(\beta ) \right) \end{eqnarray*}$ sein könnte.. smile

ach ja: wie heissen denn jetzt deine beiden Lösungen z1 und z2
in Normalform? verwirrt

20.12.2010, 23:51

allahahbarpingok

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naja, da muss man eben die geometrische Form durchrechnen, mache ich gleich. Zum Argument nochmal. Den Punkt P kann halt nicht ganz so einfach eintrage oder irre ich mich. Immerhin muss man wissen, was $\begin{eqnarray*} \frac {\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ ist. Dies kann man doch nicht genau angeben, sonst hätte ich das nämlich auch erstmal druch die gaußsche Zahlenebene gejagt.

21.12.2010, 00:01

corvus

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Zitat:

Original von allahahbarpingok
Den Punkt P kann halt nicht ganz so einfach eintrage smile

oder irre ich mich. .

allah irrt : Wink

der Punkt P hat den x-Wert $\begin{eqnarray*} x_P=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
und den Einheitskreis, auf dem P herumliegt, kannst
du mit einem Zirkel und dem Radius r=1 herbeizaubern.

ausserdem gehört es eh zum Grundwissen von jedem Gymnasiasten,
das zB cos(60°)=1/2 ist.. dann lassen sich durch kurzes Überlegen
auch die Winkel ß herausfinden, für die cos(ß)= - 1/2 sein wird.

oh - und der y-Wert von P auf k , also $\begin{eqnarray*} y_P=\frac {\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$
der ergibt sich - oh Wunder - automatisch (Pythagoras lässt grüssen) ..

21.12.2010, 00:09

allahahbarpingok

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oh, welch ein Wunder ich hab eine Lösung.

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}*i \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}*i \end{eqnarray*}$

21.12.2010, 00:15

corvus

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Zitat:

Original von allahahbarpingok

oh, welch ein Wunder ich hab eine Lösung. unglücklich

da muss ich deinen Glauben an Wunder leider erschüttern

also, allah.. , du bist noch nicht auf dem Pfad der wahrhaftigen
Lösung angekommen.

versuch es nochmal.->
.

21.12.2010, 00:29

allahahbarpingok

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Naja, dann liegt es wohl am Rechengweg:

$\begin{eqnarray*} e^{\frac {i*Phi} {2}} = e^{\frac {i*\frac{2\pi}{3}} {2}} = e^{\frac {i*\pi} {3}} \end{eqnarray*}$

Nun kann ich also die geometrische Form verwenden. Der Betrag der komplexen Zahl ist bekanntermaßen 1.

$\begin{eqnarray*} \pm (cos \frac{\pi}{3} + i * sin \frac{\pi}{3}) =\pm (\frac{\sqrt{2}}{2} + i*\frac{\sqrt{2}}{2}) \end{eqnarray*}$

Ich sehe leider nicht, was falsch ist...

21.12.2010, 00:31

allahahbarpingok

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ups

$\begin{eqnarray*} cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

Glücklicherweise kam die Erleuchtung und Allah konnte seine Reise fortsetzen. Dickes Danke btw!

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