Vektor Richtungswinkel

20.11.2006, 22:04

chris85

Vektor Richtungswinkel

Welche Richtungswinkel hat $\begin{eqnarray*} \vec{r}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit den Koordinatenachsen?
Überprüfe,dass die Summer der quadrierten Richtungskosinus 1 ergibt. Was bedeutet das?

20.11.2006, 22:09

Mazze

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Mal es dir doch einfach mal auf. Da entsteht ein Dreieck, da kannst Du alle bekannten Sachen aus der Analysis benutzen.

Zitat:

Überprüfe,dass die Summer der quadrierten Richtungskosinus 1 ergibt. Was bedeutet das?

$\begin{eqnarray*} sin^2(x) + cos^2(x) = 1 \end{eqnarray*}$

auch als trigonometrischer Pythagoras bekannt.

20.11.2006, 22:13

phi

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Nun, da ich dich heute schon so oft mit der einen Definition des Skalarprodukts gequält habe, behaupte ich das es noch eine gibt ! Augenzwinkern

Und die müsstest du eigentlich noch aus der Schule kennen. (was mit cos..)

Der nächste Punkt wäre zunächst die Koordinaten als Vektoren darzustellen.
Was für y und z - Komponenten hätte z.B. die x-Achse ?

Die Überprüfung hat dann was mit der Norm bzw. Länge von Einheitsvektoren zu tun. Aber das genauer erst wenn die Grundlagen sitzen.

mfg

20.11.2006, 23:22

chris85

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also eine andere def. des skalarprodukts ist glaube : $\begin{eqnarray*} \vec{a} *\vec{b} = ab \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} cos \alpha \end{eqnarray*}$ ...bin mir aber nicht sicher.

Was man für die Achsen für einen Vektor angibt? Keine Ahnung aber ich gehe mal davon aus dass, der y und z-Wert Null sein muss oder?
Ich hab das Dreieck jetzt auch mal gezeichnet.kann damit bis jetzt aber nicht viel anfangen.
Weitere Tipps?

20.11.2006, 23:34

Mazze

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Ich würde Dir Vorschlagen das Du mal Deine Unterlagen konsultierst. Ich würde wetten da sind nicht nur die Definitionen sondern auch Beispiele. Für das Skalarprodukt gilt

$\begin{eqnarray*} \vec{a}*\vec{b} = |a|\cdot |b| \cdot cos(\alpha) \end{eqnarray*}$

Jetzt musst Du dir nur noch überlegen welcher Vektor denn die Koordinatenachse beschreibt. Das ist nur aufschreiben, zeichnen und ausrechnen mehr nicht.

20.11.2006, 23:46

chris85

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für die x-Achse : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
für die y-Achse : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
für die z-Achse : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Länge ist ja egal, es muss ja nur die Richtung stimmen, deshalb immer 1 bzw. -1.
Ist das Richtig?

20.11.2006, 23:49

Mazze

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Würde sich den der Winkel beim Verlängern/Verkürzen des Vektors ändern?

Übrigens hast Du da einen Tipfehler bei dem dritten Vektor, du meinst sicher z-Achse.

21.11.2006, 00:00

chris85

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Ja habe z-Achse gemeint!habs verbessert!
Der Winlkel würde sich durch verlängern nicht verändern. wie denn auch.
also müsste es stimmen.

21.11.2006, 00:11

riwe

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Zitat:

Original von Mazze
Mal es dir doch einfach mal auf. Da entsteht ein Dreieck, da kannst Du alle bekannten Sachen aus der Analysis benutzen.

Zitat:

Überprüfe,dass die Summer der quadrierten Richtungskosinus 1 ergibt. Was bedeutet das?

$\begin{eqnarray*} sin^2(x) + cos^2(x) = 1 \end{eqnarray*}$

auch als trigonometrischer Pythagoras bekannt.

wenn du die winkel , die der vektor mit den koordinatenachsen einschließt, mit $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ mit i =1, 2, 3 bezeichnest, heißt das:
$\begin{eqnarray*} cos^{2}\alpha_1+cos^{2}\alpha_2+cos^{2}\alpha_3=1 \end{eqnarray*}$

im konkreten fall hast du der reihe nach
$\begin{eqnarray*} cos\alpha_1=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos\alpha_2=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos\alpha_3=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$
womit du hast
$\begin{eqnarray*} \frac{1+1+2}{4}=1 \end{eqnarray*}$ oder ca. 1 verwirrt

werner

21.11.2006, 00:21

chris85

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Ich versteh nicht wie du auf:

$\begin{eqnarray*} cos\alpha_1=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos\alpha_2=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos\alpha_3=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

kommst und warum da plötzlich kein $\begin{eqnarray*} ² \end{eqnarray*}$ mehr steht.
Kannst du mir das schnell erklären?

21.11.2006, 00:50

phi

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RE: Vektor Richtungswinkel
Werner hat deinen Ausgangsvektor auf Einheitslänge normiert: $\begin{eqnarray*} \vec{r}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das macht man indem man jede Komponente durch die euklidsche Länge teilt, und die ist:

$\begin{eqnarray*} |v|= \sqrt{1^2+( -1)^2 + \sqrt{2}^2}=2 \end{eqnarray*}$

mfg, phi

Edit: Wenn du diese Werte wieder in deine Gleichung einsetzt, sind die Quadrate ja noch da. Setz mal ein, dann kommt genau 1 raus. smile

21.11.2006, 13:56

chris85

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ACh man ich steh voll auf der leitung,ich blicks gerade gar nicht! kann mir das jemand für hirnis erklären? verwirrt

21.11.2006, 14:18

phi

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Die euklidische Länge ist nix anderes als der n-dimensionale Pythagoras, hier die Raumdiagonale.

Und wenn man einen beliebigen Vektor v als Linearkombination einer beliebigen orthogonalen Basis ausdrückt, kann man v auf die Länge 1 schrumpfen/strecken := normieren , indem man alle drei Komponenten durch die Länge von v teilt.

$\begin{eqnarray*} cos\alpha_1=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Also ist z.B.:

$\begin{eqnarray*} cos^2 \alpha_1=\frac{{1}}{4} \end{eqnarray*}$

womit du mit den anderen quadrierten cosinuse hast:

$\begin{eqnarray*} \frac{1+1+2}{4}=1 \end{eqnarray*}$

Nochmal anders ausgedrückt:

Die euklidische Länge ||v|| oder |v| ist die Wurzel aus dem Skalarprodukt von v mal sich selbst: |v|:=sqrt(v*v)=sqrt(x^2+y^2+z^2).

Und Werner hat einfach passende Werte genommen für die |v|=4 ist, und damit v/|v|=1.

21.11.2006, 14:36

chris85

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Also wie das jetzt berechnet wird hab ich verstanden. nur wieso man das so macht versteh ich nicht. damit hab ich ja dann bewiesen dass die summe aller richtungskosinus 1 ergibt! in deiner erklärung ist der beliebige Vektor v in meinem fall doch aber r oder ist das ein anderer?

doch wie komm ich denn jetzt noch genau auf den Richtungswinkel von $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$

21.11.2006, 14:54

phi

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Du hast oben die schon fast (von Mazze verbesserte ) richtige Formel hingeschrieben. Du musst jetzt nur noch jeweils einen Achsenvektor und r einsetzen, und nach dem Winkel umformen.

(Ich nenne Vektoren aus Gewohnheit meistens v. Wegen Richtung ist r nat. sinnvoll )

Das Warum hat mit deiner Erkenntniss gestern zu tun das "Länge egal, Richtung stimmt". Die Länge 1 sucht man sich dann quasi als neutralen "Maßstab" und Bezugssystem, deshalb "Norm".

Genauer: Der Cosinus von Winkel zwischen 0 und 2pi, nimmt nur Werte zwischen -1 und +1 an.

Such mal nach "Cauchy-Schwarzsche Ungleichung"

21.11.2006, 15:56

chris85

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Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung kann ich hier jetzt nichts anfangen.
Mit der Formel $\begin{eqnarray*} cos \alpha = \frac{\vec{a} * \vec{b}} {|a|*|b|} \end{eqnarray*}$ habe ich versucht die winkel zu berechnen. habe dann für $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ genommen und für $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ habe ich den Vektor,wie oben angeben,für die Achsen genommen. ich hab dann für x- und y-achse 60° und für die z-achse 45° als ergebnis. kann das stimmen? bin gerade richtig durcheinander

21.11.2006, 16:39

chris85

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Kann mir das jemand bestätigen oder mir sagen dass ich total falsch liege? verwirrt

21.11.2006, 18:06

chris85

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Oje ich find den fehler nicht,kann mir niemand helfen???

21.11.2006, 18:08

riwe

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schau doch meinen beitrag an, dann weißt du, wie ich auf diese werte gekommen bin.
stimmen eh. aber y-achse = 120°(cos alpha = -1/2)
werner

21.11.2006, 18:43

chris85

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wenn ich das dann so weiter mache bekomm ich für die x-achse (cos 0,5 = 60°) und die z-achse (cos wurzel 2 /2 = 45°) raus, stimmt das?

21.11.2006, 23:14

chris85

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Könnte mir mal jemand sagen ob das richtig ist bzw. wenn nicht was die richtige Lösung ist? Wäre echt nett!

22.11.2006, 10:18

phi

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Alles im grünen Bereich, nur für die y-Achse noch mal nachrechnen:

$\begin{eqnarray*} \cos^{-1}(-0.5)=... \end{eqnarray*}$

mfg, phi

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