Schnittmenge zweier Unterräume

20.11.2006, 22:13

Sebastian_K

Schnittmenge zweier Unterräume

Hallo,

bei der letzten Aufgabe unseres Übungsblattes musste ich kapitulieren.

U sei der von $\begin{eqnarray*} u_1 = (1, -1, 2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 = (2, 0, 1) \end{eqnarray*}$ erzeugte Unterraum im $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ .

V sei der durch $\begin{eqnarray*} v = (-3, 1, 4) \end{eqnarray*}$ erzeugte Unterraum im $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ .

Wie kann nun $\begin{eqnarray*} U \cap V \end{eqnarray*}$ bestimmt werden?

Ich habe im Forum gelesen, dass das mithilfe des Annulators geht (was immer das auch ist). Ist das der einzige Weg? Das kam nämlich noch in unserem Skript oder in der Vorlesung dran.

Vielen Dank und schöne Grüße,
Sebastian

Edit: verkehrtes Vorzeichen

20.11.2006, 22:28

sqrt(2)

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Der Sinn einer Basis ist ja, das du alle Elemente des Vektorraums als Linearkombination der Basisvektoren darstellen kannst, also ist ein Element aus U darstellbar als $\begin{eqnarray*} \lambda u_1 + \mu u_2 \end{eqnarray*}$ , ein Element aus V als $\begin{eqnarray*} \nu v \end{eqnarray*}$ .

Was muss also für ein Element auf $\begin{eqnarray*} U \cap V \end{eqnarray*}$ gelten?

20.11.2006, 22:37

Sebastian_K

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Eein Elemente aus $\begin{eqnarray*} U \cap V \end{eqnarray*}$ muss sich sowohl als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} \lambda u_1 + \mu u_2 \end{eqnarray*}$ als auch von $\begin{eqnarray*} \nu v \end{eqnarray*}$ darstellen lassen.

Lässt sich das als Gleichung(ssystem) formulieren?

20.11.2006, 22:39

sqrt(2)

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Genau das.

20.11.2006, 23:10

Sebastian_K

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(I) r + 2s = -3t
(II) -r = t <=> r = -t
(III) 2r + s= 4t <=> -2t +s = 4t <=> s = 6t

Das erscheint mir unlösbar, wenn man versucht s in (I) einzusetzen:
r + 2s = -3t <=> -t + 2*6t = -3t = 11t = -3t

Ist die Schnittmenge also einfach leer?

20.11.2006, 23:17

sqrt(2)

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Nein. Aus -3 t = 11 t folgt t = 0, damit auch r = 0 und s = 0. Der Nullvektor liegt also in beiden Unterräumen. Das muss er auch, denn jeder Unterraum enthält den Nullvektor. In diesem Fall liegt eben nur auschließlich der Nullvektor in der Schnittmenge.

20.11.2006, 23:24

Sebastian_K

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OK, jetzt hab' ich's verstanden. Vielen Dank für deine Hilfe!

21.11.2006, 01:18

Sebastian_K

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Eine zusätzliche Frage hätte ich noch:
Welche Elemente des $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ liegen in $\begin{eqnarray*} \left\langle (1, -1, 2), (2,0,1), (3,1,4) \right\rangle \end{eqnarray*}$ ?

Ist das einfach die Menge $\begin{eqnarray*} \{(x, y, z) | (x, y, z) = \lambda*(1, -1, 2)+ \mu*(2,0,1) + \nu (3,1,4)\} \end{eqnarray*}$ oder muss das genauer/anders bestimmt werden?

21.11.2006, 01:29

phi

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left\langle (1, -1, 2), (2,0,1), (-3,1,4) \right\rangle \end{eqnarray*}$

Soll bestimmt ein Minus vor der 3 sein, wie oben..

Ist zwar richtig was du geschrieben hast, aber du kannst noch eine allgemeinere Aussage machen :Wenn sie nur den Nullvektor gemeinsam haben, was bedeutet das für die lineare Abhängigkeit dieser 3 Vektoren ?

21.11.2006, 02:32

Sebastian_K

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Die Vektoren sind linear unabhängig. Kein Vektor kann aus einem anderen Vektor linearkombiniert werden. Lässt sich die Lösung mit elementaren Kenntnissen der linearen Algebra noch weiter präzisieren oder reicht das schon?

21.11.2006, 03:53

phi

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Zitat:

Original von Sebastian_K
Eine zusätzliche Frage hätte ich noch:
Welche Elemente des $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ liegen in $\begin{eqnarray*} \left\langle (1, -1, 2), (2,0,1), (3,1,4) \right\rangle \end{eqnarray*}$ ?

Ist das einfach die Menge $\begin{eqnarray*} \{(x, y, z) | (x, y, z) = \lambda*(1, -1, 2)+ \mu*(2,0,1) + \nu (3,1,4)\} \end{eqnarray*}$ oder muss das genauer/anders bestimmt werden?

Genau! Das heißt also wenn wir drei linear unabhängige Vektoren haben im 3-dimensionalem Raum IR^3, dann bilden diese eine Basis. Jedenfalls erzeugen sie ganz IR^3.

Es liegen also alle Elemente des IR^3 in diesem Erzeugniss !

Wink

So gute Nacht, und Kompliment fürs Durchhalten.

mfg, phi

21.11.2006, 11:58

Sebastian_K

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Das Kompliment geht natürlich an dich und an sqrt(2). Dank des Matheboards habe ich sicherlich schon einige Zusammenhänge begriffen und mehr Spaß daran, die Übungszettel zu lösen.

Ich kann also festhalten: Wenn $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ der Vektorraum ist und man n Vektoren hat, die linear unabhängig sind, dann bildet diese Menge von Vektoren also eine Basis, ja?

21.11.2006, 13:05

therisen

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Richtig.

20.07.2010, 17:17

menjui

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Hey !
Sorry dass ich nochmal einen so alten Thread rauskrame aber das betrifft denke ich auch mein Problem.
In R³ seien v1=(1/2/-2) , v2=(0/1/0) ,u1=(1/0/-2) und u2=(-1/-2/2) gegeben.
Bestimmen sie eine Basis des Schnittes von:
L(v1,v2)={a1v1+a2v2|a1,a2 E R}
L(u1,u2)={b1u1+b2u2|b1,b2 E R}

Um mir und euch nicht die ganzen LGS anzutun poste ich hier einfach nur das Ergebnis des letzten:

a1 -b1+b2=0
a2 +2b1 =0
0 =0

Impliziert diese Lösung jetzt, dass die Basis des Schnittes der zwei Linearen Hüllen(Glaub zumindest, dass das welche sein sollen) nur der Nullvektor ist ?!

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