Orthogonalprojektion (speziell, allgemein)

21.12.2010, 14:03	TobiD	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalprojektion (speziell, allgemein) Hey, es geht um folgende Aufgaben: Aufgagenteil 1: Es sei $\begin{eqnarray} V = R² \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U = \langle e_1 \rangle \end{eqnarray}$ . Geben Sie den Vektor $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ für einen beliebigen Vektor $\begin{eqnarray} v \in R² \end{eqnarray}$ an und weisen Sie nach, dass $\begin{eqnarray} v-u \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ senkrecht steht. Hinweis: $\begin{eqnarray} R² \end{eqnarray}$ ist mit einem Skalarprodukt ausgestattet. Meine Lösung Es sei $\begin{eqnarray} v=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Nun sei $\begin{eqnarray} u=\begin{pmatrix}2 \\ 0 \end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Daraus folgt $\begin{eqnarray} v-u=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Um nachzuweisen, dass $\begin{eqnarray} v-u \end{eqnarray}$ senkrecht auf u steht bilden wir das Skalarprodukt: $\begin{eqnarray} (v-u)u=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 0 \end{pmatrix}=0+0=0 \end{eqnarray}$ Somit haben wir gezeigt dass $\begin{eqnarray} v-u \end{eqnarray}$ senkrecht auf $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ gilt und damit auch senkrecht auf $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ . Meine Frage zum Aufgabenteil 1: Ich hab vor allem Zweifel dass der letzte Satz so als Beweis reicht, weil man soll ja eigentlich zeigen dass v-u senkrecht auf U steht und nicht senkrecht auf u. Meint ihr das passt so und der Rest meiner Lösung auch? Aufgagenteil 2: Sei nun $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein beliebiger n-dimensionaler Vektorraum und $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ein beliebiger Untervektorraum von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Geben Sie allgemein die Orthogonalprojektion u von v an und weisen Sie nach, dass $\begin{eqnarray} v-u \end{eqnarray}$ senkrecht auf $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ steht. Hinweis: Wählen Sie eine geeignete Orthonormalbasis. Mein Ansatz: So, ich weiß das dieser Teil eigentlich nur die allgemeine Variante vom ersten Teil ist, hab aber keine Idee wie ich da anfangen soll zu beweisen, der Hinweis mit der Orthonormalbasis verwirrt mich auch. Warum soll ich eine geeignte wählen, das soll doch allgemein sein. Bei dieser Aufgabe bräuchte ich generell mal eine Hilfestellung wie die zu lösen ist. Dankeschön, Tobi

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