Warum ist diese Funktion integrierbar?

21.12.2010, 16:01

mimi1986

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Warum ist diese Funktion integrierbar?

Meine Frage:
Hallo ihr lieben=)

mein problem ist das folgende:

die funktion
$\begin{eqnarray*} f:[0,1]\rightarrow R f(x)=\sin(1/x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x} < x \leq \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ f(0) = 1

ist integrierbar über [0,1] , wahr oder falsch?

Meine Ideen:
Meine Idee war das prüfen auf Stetigkeit, da jedes bestimmte integral einer funktion existiert,sofern sie stetig im intervall [a,b] ist über dem sie integriert werden soll.

1) Definiertheit
2) Prüfe, ob der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \sin(\frac{1}{x} ) \end{eqnarray*}$ existiert und gleich f(0) = 1 ist.

Habe mir dann die Funktion genauer angesehen.Sie ist überall definiert, monoton wachsend, hat aber eben bei x= 0 einen Sprung auf 1.
Bevor ich schnell den trugschluss ziehe,dass es eine unstetigkeitsstelle sein könnte,prüfe ich lieber einfach auf stetigkeit mit dem limeskriterium.
mein gedankengang: sin( 1/x) ,wenn x immer kleiner wird und gegen 0 geht, dann wird das argument immer größer... da der sinus aber periodisch is, wird das NICHT schlicht gegen 1 gehen, sondern zwischen minus eins und eins oszillieren. sprich: is der grenzwert doch nich existent? bzw es geht nich nur gegen 1 sondern auch -1....

somit wäre die funktion nach meinem verständnis NICHT integrierbar,weil sie am rand des definitionsbereiches eine unstetigkeitsstelle hat...

aber die lösung sagt ,das sie integrierbar ist. warum nun?

vielen dank schon einmal smile

smile

liebe grüße,
mimi

21.12.2010, 16:07

tmo

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Das die Funktion in 0 nicht stetig ist, ist richtig. Aber eine Unstetigkeitsstelle reicht doch noch lange nicht dafür, dass eine Funktion nicht integrierbar ist.

21.12.2010, 16:14

mimi1986

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magst du mir das genauer erklären?bitte ?=)

21.12.2010, 16:15

Leopold

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RE: Warum ist diese Funktion integrierbar?

Zitat:

Original von mimi1986
$\begin{eqnarray*} f:[0,1]\rightarrow R f(x)=\sin(1/x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x} < x \leq \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ f(0) = 1

@ tmo

Ich bin eigentlich dafür, daß der Fragesteller zunächst dieses Kauderwelsch beseitigt. Du interpretierst einfach, daß wir $\begin{eqnarray*} f(x) = \sin \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ haben. Aber so klar ist das nicht. Was sollen denn die Zusätze? Soll das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} < x \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ heißen? Wird hiermit das Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ zerlegt? Sind auf den verschiedenen Teilintervallen verschiedene Terme für $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ zuständig? Oder immer $\begin{eqnarray*} \sin \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ? Warum aber dann der Zusatz?
Ich würde mich jedenfalls hüten, hier Antworten zu geben - und am Schluß kommt der Fragesteller: Äh, ich meine natürlich eine andere Funktion ...

21.12.2010, 16:17

tmo

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Da hast du wohl Recht. Ich muss jetzt eh weg, bin also aus dem Thread vorerst raus. Wink

Wink

21.12.2010, 16:32

mimi1986

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Die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x) : [0,1]\rightarrow R \; , \;\frac{1}{1+x} <\; x\;\leq \; \frac{1}{x} \;, x\in N ,\; f(0) = 1 \end{eqnarray*}$

ist integrierbar über [0,1]

das kauderwelsch steht so in meiner klausur Augenzwinkern

Augenzwinkern

ergibt sich nun alles, oder ist noch was unklar?

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21.12.2010, 16:35

mimi1986

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und ja, durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x} <\; x\;\leq \; \frac{1}{x} \; \end{eqnarray*}$
wird in teilintervalle aufgeteilt in denen der sinus dann den entsprechenden wert hat. f(0)= 1 bedeutet ,dass die funktion bei x=0 eben per definition 1 ist.

21.12.2010, 16:58

Leopold

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Zitat:

Original von mimi1986
$\begin{eqnarray*} f(x) : [0,1]\rightarrow R \; , \;\frac{1}{1+x} <\; x\;\leq \; \frac{1}{x} \;, x\in N ,\; f(0) = 1 \end{eqnarray*}$

Entschuldige, aber das ist schlicht Unsinn. Wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ tatsächlich eine natürliche Zahl wäre, wie könnte dann

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+1} < x \leq \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

gelten? Beispiel: $\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} < 2 \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Da zieht's einem ja die Socken aus ...

21.12.2010, 17:40

mimi1986

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RE: Warum ist diese Funktion integrierbar?
$\begin{eqnarray*} f(x) : [0,1]\rightarrow R \;,\;\; f(x)=\sin(\frac{1}{n} ) ,\;\;fuer \;\frac{1}{1+n} <\; x\;\leq \; \frac{1}{n} \;, n\in N ,\; f(0) = 1 \end{eqnarray*}$

sry, hatte auf dem weg von oben das sin(1/x) vergessen. und war ein wenig schusselig mit der umbenennung der variablen n... mein fehler .

nun ists 1:1 genauso wies bei mir in der klausur steht.

frage in der klausur: ist diese funktion auf dem intervall [0,1] integrierbar.

mehr, und anders stehts dort auch nicht.... 0.o

22.12.2010, 11:04

Defkon

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mh, eine Funktion ist integrierbar,wenn sie stückweise stetig ist,oder?
und stückweise stetig ist eine funktion, die endliche sprünge besitzt,wie bei deiner funktion.

würde mich nun auch interessieren...

ich würde nun über die stückweise stetigkeit argumentieren,die mir "ins auge springt" die ich aber nicht begründen kann... verwirrt

verwirrt

22.12.2010, 12:18

Gastmathematiker

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Eine Funktion muss nicht stetig sein, damit sie intbar ist, auch nicht "stückweise", denn die Funktion ist an (abzählbar) unendlich vielen Stellen unstetig, man muss hier einfach die Dfinition (bzw. eine Umformulierung hiervon nehmen und nachrechnen.

1. Beschränkt ist die Funktion, hoffe das kannst du begründen.
2. Jetzt nehmen wir uns ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ her, und suchen eine obere und eine untere Treppenfunktion, sodass die Differenz ein Integral kleiner als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ hat.
Nutze dafür, dass für jedes $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<a<b \end{eqnarray*}$ die Funktion $\begin{eqnarray*} T_{a,b}:[0,1]\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} T(x)=b \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} x<a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ sonst, bereits eine Treppenfunktion ist.

22.12.2010, 13:04

Defkon

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ok, mal zum mitdenken und nachvollziehen:

du sagst die funktion ist stetig, aber ich meine aufgrund der sachen die ich im bronstein gelesen habe, sie ist stückweise stetig ... durch hingucken sieht sie auch stetigt aus...

broinstein(s.59):

Eine Funktion y= f(x) heisst an der Stelle x=a stetig,wenn

1) f(x) an der Stelle a definiert ist
2)der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} f(x) \end{eqnarray*}$ existiert und gleich f(a) ist.

weiterhin : wenn eine funktion in einem gegebenen intervall [a,b] in allen werten x stetig ist,so wird sie in diesem intervall stetig genannt.

und: als stückweise stetig wird sie bezeichnet,wenn sie in allen punkten mit ausnahme unendlich viele stetig ist und in ihren usteteigkeitsstellen endliche sprünge besitzt.

*confused* wo liegt mein denkfehler unglücklich

unglücklich

?

22.12.2010, 13:07

Defkon

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1) ist erfüllt, da in der funktionsdefinition angegeben ist, dass f(0)= 1 is, also ist sie dort definiert,aber wenn ich mir den grenzwert bei 0 ansehe oszilliert das wie wild zwischen -1 und 1 , müsste das nicht ein eindeutiger grenzwert sein,damit die funktion stetig ist?

22.12.2010, 22:02

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von Defkon
ok, mal zum mitdenken und nachvollziehen:

du sagst die funktion ist stetig

Wo soll ich das gesagt haben, ich habe das genaue Gegenteil gesagt:

Zitat:

Original von Gastmathematiker
denn die Funktion ist an (abzählbar) unendlich vielen Stellen unstetig

Zitat:

Original von Defkon
aber ich meine aufgrund der sachen die ich im bronstein gelesen habe, sie ist stückweise stetig ... durch hingucken sieht sie auch stetigt aus...

Nach den Definitionen die ich für stückweise Stetigkeit kenne (nämlich, dass alle Unstetigkeitsstellen isolierte Punkte sind, oft auch noch zusätzlich Existenz der einseitigen Grenzwerte), ist diese Funktion auch nicht stückweise stetig. Aber vielleicht kannst du mal deine Definition hier hinschreiben, denn das ist keine sinnvolle:

Zitat:

Original von Defkon
als stückweise stetig wird sie bezeichnet,wenn sie in allen punkten mit ausnahme unendlich viele stetig ist und in ihren usteteigkeitsstellen endliche sprünge besitzt.

In allen Punkten bis auf unendlich vielen, das erfüllt auch eine Funktion, die nirgends stetig ist. Und was verstehst du unter einem endlichen Sprung?

23.12.2010, 16:17

Defkon1

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mh,also unter endlichem sprung verstehe ich einen sprung von zb. f(x)=4 auf
f(x)= 15..

ehrlich gesagt ist das die einzige definition, die ich im bronstein gefunden habe...

habe die seite noch einmal angehängt .. smile

smile

danke für deine mühen

25.12.2010, 13:05

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von Defkon1
mh,also unter endlichem sprung verstehe ich einen sprung von zb. f(x)=4 auf
f(x)= 15..

Das kann ja nicht sein, dass würde ja nur Sinn ergeben, wenn die Funktion stückweise konstant ist. Allerdings dürfte sich dann in dem Buch an einer anderen Stelle eine Definition für endlicher Sprung finden lassen (sonst ist die Definition Mist). Wahrscheinlich iist die Existenz der einseitigen Grenzwerte gemeint.

Auf jeden Fall ist die Funktion nach der Def. nicht stückweise stetig, denn sie hat unendlich viele Unstetigkeitsstellen.

Dir bleibt hier also nur das nachrechnen der Definition von Riemann-Intbarkeit (Es sei denn, du hast Ahnung von Maß-Theorie, allerdings würde man dann wahrscheinlich nicht so eine Aufgabe stellen)

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