Grenzwert von Reihen

21.12.2010, 16:45

Meisenmann

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Grenzwert von Reihen

Hi,

ich mache gerade Aufgaben zum Thema Reihen. Ich soll den Grenzwert von einigen Reihen berechnen. Mit den meisten Aufgaben komme ich ganz gut zurecht, aber bei den folgenden zwei Reihen komm ich nicht weiter:

1)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{7k +13} \end{eqnarray*}$

2)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{5}{k!} \end{eqnarray*}$

Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben?

Vielen Dank!

Grüße, Meisenmann

21.12.2010, 16:53

Leopold

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Die erste Reihe ist eine Teilreihe der harmonischen Reihe, wobei die Nenner linear ansteigen. Das sieht nicht gut aus ...
Es würde sich die folgende Umformung anbieten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{7k + 13} = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{k + \frac{13}{7}} \geq \ldots \end{eqnarray*}$

Und bei der zweiten Reihe solltest du in deinen Unterlagen schauen, weil ihr eine ähnliche sicher bereits untersucht habt. Dann kannst du auch hier weiterkommen.

21.12.2010, 17:17

Meisenmann

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Hi leopold,

vielen Dank für Deine rasche Antwort.

zu 1.)

So wie ich das nun sehe divergiert die Reihe. Ich nehme mal an dass ich hier mit dem Majorantenkriterium beweisen soll, dass die Reihe konvergiert?

zu 2.)

Hab meine Unterlagen schon durchforstet, die einzig ähnliche Reihe die wir bisher durchgenommen haben ist folgende

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{k}}{k!} \end{eqnarray*}$

aber bei 2) fehlt das ^k

Vielen Dank!

Gruß, Meisenmann

21.12.2010, 17:23

Iorek

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$\begin{eqnarray*} \frac 5{k!}=5\cdot \frac 1{k!} \end{eqnarray*}$ könnte dir weiter helfen.

21.12.2010, 17:43

Meisenmann

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Hi Iorek,

und woher weiss ich, ob

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

konvergiert, und falls es konvergiert, gegen welchen Wert?

Vielleicht ist die Frage etwas dämlich, aber für einen Anfänger wie mich ist es nicht trivial. Zum Beispiel sieht man bei folgenden Reihen das Ergebnis auch nicht direkt.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ (divergiert)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n²} \end{eqnarray*}$ (konvergiert)

Danke Gruß
Meisenmann

21.12.2010, 17:50

Iorek

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Na, du hast gesagt, dass ihr die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$ kennen gelernt hat, welchen Wert hat diese Reihe?

Jetzt ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac 5{k!}=\sum\limits_{k=0}^\infty 5\cdot \frac 1{k!}=5 \sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k!} \end{eqnarray*}$ , jetzt bring noch irgendwie die Potenz im Zähler ins Spiel und du bist fertig.

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21.12.2010, 17:58

Meisenmann

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Iorek, das macht Sinn.

Vielen Dank!

Grüße
Meisenmann

22.12.2010, 16:54

Meisenmann

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Hi,

ich versuche mich gerade noch einmal am Grenzwert der folgenden unendlichen Reihe von gestern. Ich habe heut auch noch einmal mit meinem Kumpel

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{7k+13} \end{eqnarray*}$

gesprochen und der hat auch keine Lösung.

Ein weiterer Tipp wäre echt super!

Danke
Meisenmann

22.12.2010, 16:59

Iorek

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Du hast doch oben schon den richtigen Ansatz geliefert, es lässt sich eine divergente Minorante finden.

22.12.2010, 17:33

Meisenmann

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Hi Iorek,

wusste nicht dass die Reihe divergiert. In der Aufgabenstellung steht: "... finden Sie den Grenzwert ... ", deshalb bin ich davon ausgegangen, dass auch diese Reihe konvergiert.

Für das Minorantenkriterium muss ich doch eine kleinere Folge finden, die für fast alle Folgenglieder divergiert?

Kann ich da auch wie folgt argumentieren?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{7} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k + \frac{13}{7} } = \frac{1}{k} \geq \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

22.12.2010, 17:36

Iorek

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Zitat:

Original von Meisenmann
zu 1.)

So wie ich das nun sehe divergiert die Reihe. Ich nehme mal an dass ich hier mit dem Majorantenkriterium beweisen soll, dass die Reihe konvergiert?

Da hast du die Vermutung doch schon geäußert.

Und nein, so wie du das aufgeschrieben hast ist das nicht nur formal sondern auch inhaltlich falsch. Lies es dir selber nochmal durch und überleg dann nochmal.

22.12.2010, 18:23

Meisenmann

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Zitat:

...So wie ich das nun sehe divergiert die Reihe...

Was ich damit sagen wollte ist, dass ich vermute dass die Reihe divergiert (also rein aus dem Bauch heraus).

Zitat:

... Ich nehme mal an dass ich hier mit dem Majorantenkriterium beweisen soll, dass die Reihe konvergiert? ...

Damit wollte ich sagen, dass ich anhand der Aufgabenstellung aber davon ausgehe dass die Reihe konvergiert und ich das mit dem Majorantenkriterum beweisen soll.

Um mit dem Minorantenkriterium zu beweisen dass die Reihe divergiert, benötige ich eine Reihe die ebenfalls divergiert, aber kleiner ist.

Die einzige divergente Reihe, die wir in der Vorlesung hatten (die ich also verwenden kann) ist

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

und die ist ja nicht kleiner sondern größer.

Danke
Meisenmann

22.12.2010, 18:26

Grouser

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Dann schau dir doch mal

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{7k} \end{eqnarray*}$ an.

22.12.2010, 18:27

Iorek

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Diese Reihe habt ihr so bestimmt nicht gehabt, der Laufindex passt nicht und wenn man das übersieht ist es für k=0 nicht definiert. Du meinst $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1k \end{eqnarray*}$

Du könntest aber ein klein wenig abschätzen (dabei kannst du ruhig brutal vorgehen).

Zieh den ersten Summanden raus, dann hast du mit einer einzigen Abschätzung die harmonische Reihe da stehen.

22.12.2010, 19:40

Meisenmann

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Sorry, muss natürlich so heißen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Dann schau dir doch mal

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^ \infty \frac{1}{7k} \end{eqnarray*}$

an.

Und woher weiß ich ob die Reihe konvergiert oder divergiert? Das ist ja bei Reihen nicht immer direkt ersichtlich.

Wenn ich nun den ersten Summanden aus der Summe herausziehe bekomme sieht das so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{7} * \frac{7}{13} + \frac{1}{7} * \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n + \frac{13}{7} } \end{eqnarray*}$

Was hat das mit einer geometrischen Reihe zu tun?

22.12.2010, 20:10

Mulder

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RE: Grenzwert von Reihen

Zitat:

Original von Meisenmann
Was hat das mit einer geometrischen Reihe zu tun?

Nichts. Iorek meinte sicher die harmonische Reihe und hat sich da einfach verschrieben. Wie er schon anmerkte: Such dir doch einfach eine passende Minorante. Konstante Vorfaktoren kannst du doch immer vor die Summe ziehen. So divergiert natürlich auch

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{an} = \frac{1}{a} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

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