Untergruppen von GL_n(K) |
| 21.12.2010, 18:08 | Martin L | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Untergruppen von GL_n(K) bei folgender Aufgabe fehlt mir die Herangehensweise. Ich verstehe zwar, was zu prüfen ist aber ich weiß nicht wie. Zuerst mal sei K ein Körper und n >=2 eine Natürliche Zahl. Aufgabe: Untersuche, welche der folgenden Teilmengen der Untergruppen sind. a) b) c) lassen wir erst mal weg ich glaub wenn ich a und b kann, kann ich auch c. Jetzt sind ja in der Menge G, wenn ich das richtig verstehe, alle invertierbaren Matrizen, welche an der Stelle ii eine 1 haben. Also sozusagen die Einheitsmatrix und da wo die Nullen stehen normalerweise kann man nehmen was man will, solange die Matrix invertierbar bleibt. Bei b habe ich ja alle Matrizen, wo überall Nullen stehen, außer auf der Hauptdiagonalen. Da darf dann alles stehen. Die ist ja auch immer invertierbar weil auf jeden Fall sind die Spalten oder Zeilen Linear Unabhängig. Jetzt muss ich doch prüfen, ob es ein neutrales und inverses Element gibt und ob die Teilmenge abgeschlossen ist. neutrales Element dürfte in beiden Fällen die Einheitsmatrix sein. die ist ja in beiden Teilmengen enthalten. Inverses Element wird schon komplizierter, wie zeige ich, dass es so etwas gibt? genau so die Abgeschlossenheit. Bei b) ist das zwar klar, da, wenn nur die Hauptdiagonale ungleich 0 ist, nachher in dem Produkt zweier solcher Matrizen auch nur die Hauptdiagonale ungleich 0 ist. Könnt ihr mir zeigen? wie ich da Strukturiert rangehe? bei Matrizen macht mir so etwas immer Probleme. Gruß Martin |
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| 21.12.2010, 18:47 | pseudo-nym | Auf diesen Beitrag antworten » |
Als erstes musst du einmal bachten, dass es mindestens drei wohldefinierte Operationen auf der Menge der quadratischen Matrizen fester große gibt, Addition und komponentenweise Multiplikation und Matrizenmultiplikation. Wenn du also von Matrizengruppen redest, ist nicht a priori klar welche Verknüpfung zu meinst. Falls du Matrizenmultiplikation meinst, gibt es zwei Matrizen in G welche sich von der Einheitsmatrix nur an einer Stelle unterscheiden und deren Produkt nicht in G liegt. |
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| 21.12.2010, 18:52 | Martin L | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mhh, hier steht nicht welche verknüpfung gemeint ist, aber komponentenweises war nicht in der Vorlesung dran. Ich gehe einfach mal von der Multiplikation aus. Mhh, also zwei gegenbeispiele mhhh da such ich dann mal. Die müssten ja findbar sein. Dann hätte ich nur noch bei b) das problem. Da würde ich aus dem Bauch raus sagen, dass das eine Untergruppe ist. Aber ich weiß halt nicht wie ich das mit der Abgeschlossenheit und dem inversen zeigen soll. Gruß Martin |
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| 21.12.2010, 19:04 | pseudo-nym | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wie du schon richtig erkannt hast, ist D die Menge der Diagonalmatrizen. Wenn man sich die Art wie Matrizenmultiplikation funktioniert genau anschaut, kann man Formeln für das Inverse einer und das Produkt zweier Matrizen aufstellen. |
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| 21.12.2010, 19:37 | Martin L | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also beim Produkt kann ich mir das vorstellen, indem man über die Summe geht für jedes a_ij. nehmen wir mal A = a_ij B = b_ij dann ist das hieße ja, dass nur genau da etwas ungleich 0 herauskommt, wo in der Zeile der linken Matrix und der spalte der rechten Matrix welche man multipliziert an der selben stelle etwas ungleich 0 steht. Sonst ist immer ein Faktor 0 und damit alle Produkte 0 und damit die Summe 0. leider auch nicht wirklich Mathematisch. Sowas fällt mir echt noch schwer. Beim inversen weiß ich gerade nicht weiter. |
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| 22.12.2010, 01:04 | pseudo-nym | Auf diesen Beitrag antworten » |
Deine Beobachtung was die Multiplikation angeht stimmt schon. Jetzt musst du sie nur noch auf die Abschlossenheit der Verknüpfung anwenden. Wenn du den Gauß-Algorithmus zum invertieren von Matrizen schon kennst würde ich mal eine beliebige Diagonalmatrix damit invertieren. |
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