Erwartungswert bei der Laplace- bzw. zweiseitigen Exponentialverteilung berechnen

21.12.2010, 21:11

bartman2000

Erwartungswert bei der Laplace- bzw. zweiseitigen Exponentialverteilung berechnen

Hallo zusammen,

ich möchte den Erwartungswert der Laplace- bzw. zweiseitigen Exponentialverteilung berechnen, weiss aber nicht, welchen Fehler ich beim Integrieren mache. Könntet ihr mir bitte helfen.
Die Laplace-Verteilung ist gegeben durch: $\begin{eqnarray*} f_\theta(x)=\frac{\alpha}{2}exp(-\alpha| x-\theta | ) \end{eqnarray*}$
Berechne den Erwartungswert:
$\begin{eqnarray*} E[x]=\frac{\alpha}{2}\int_\mathbb R \! x*exp(-\alpha| x-\theta | ) \, dx \end{eqnarray*}$
Substituiere:
$\begin{eqnarray*} x=z+\theta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E[x]=\frac{\alpha}{2}\int_0^\infty \! (z+\theta)*exp(-\alpha*z) \, dz \end{eqnarray*}$
Wenn ich nun weiterrechne erhalte ich nicht $\begin{eqnarray*} E[x]=\theta \end{eqnarray*}$ . Mache etwas beim Substituieren falsch?

Grüße

21.12.2010, 21:13

René Gruber

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Zitat:

Original von bartman2000
Mache etwas beim Substituieren falsch?

Ja, und/oder bei den Integralgrenzen.

21.12.2010, 21:39

bartman2000

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Hmm, ok.

Zu den Integralgrenzen habe ich mir folgendes überlegt:
$\begin{eqnarray*} E[x]=\frac{\alpha}{2}\int_{-\infty}^0 \! (-z+\theta)*exp(\alpha*z) \, dz + \frac{\alpha}{2}\int_0^\infty \! (z+\theta)*exp(-\alpha*z) \, dz \end{eqnarray*}$

Wäre das so richtig?

21.12.2010, 21:54

René Gruber

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Nein, im ersten Integral ist noch ein Vorzeichenfehler: Wieso $\begin{eqnarray*} (-z+\theta) \end{eqnarray*}$ ? Da muss $\begin{eqnarray*} (z+\theta) \end{eqnarray*}$ stehen! Der aufzulösende Betrag befindet sich schließlich nur innerhalb des Exponentialterms, nicht außerhalb.

Immer ein Schritt nach dem anderen, nicht drei auf einmal - dann passieren auch solche Fehler seltener.

21.12.2010, 22:12

bartman2000

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Stimmt, ich sollte aufmerksamer sein.
Vielen Dank. Wenn ich $\begin{eqnarray*} E[x]=\frac{\alpha}{2}\int_{-\infty}^0 \! (z+\theta)*exp(\alpha*z) \, dz + \frac{\alpha}{2}\int_0^\infty \! (z+\theta)*exp(-\alpha*z) \, dz \end{eqnarray*}$ berechne, erhalte ich $\begin{eqnarray*} E[x]=\theta \end{eqnarray*}$ smile

Edit: ein Minus-Zeichen zuviel

21.12.2010, 22:14

René Gruber

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Genau.

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