Gaußscher Satz

22.12.2010, 19:07

thorsten1985

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Gaußscher Satz

Hallo,

ich hätte ne Frage bezüglich dieser Aufgabe--> siehe Anhang.
Mithilfe des Gaußschen Satzes kann ich das berechnen. Es stellt sich bei mir dann nur bei dem Oberflächenintegral das problem zum einen mit den Grenzen und zum anderen mit der Parametrisierung.

Wenn ich es mithilfe des Volumenintegrals div F berechne, habe ich ja folgende Integrationsgrenzen für: z=0 bis z=r*cos phi+2
phi=0 bis phi=2*pi
und

r=0 bis r=2

Da kommt das richtige Ergebnis von 28pi raus.
Jedoch bekomme ich dieses Ergebnis nicht wenn ich es über ein Oberflächenintegral löse. Da mache ich scheinbar was grundsätzlich falsch. Könnt ihr mir helfen?

Grüße
thorsten1985 hat dieses Bild (verkleinerte Version) angehängt:

22.12.2010, 22:09

Lampe16

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Hallo thorsten1985,

Zitat:

Da mache ich scheinbar was grundsätzlich falsch.

Du müsstest schon sagen, was du denn machst. Wie formulierst du die Normalenvektoren der Mantel- und der schiefen Stirnfläche und wie sehen die Integrationsgrenzen aus?

23.12.2010, 00:44

thorsten1985

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Gute Frage da liegt der Hund schon begraben, weiss da schon gar nicht mehr weiter. Also habe für die Mantel fläche folgende Parametrisierung gewählt:

$\begin{eqnarray*} <br /> \vec r(t)=\begin{pmatrix} r cos \phi \\ r sin \phi \\ r cos \phi+2 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

Danach habe ich nach r abgelitten und dann nach phi.

Danach das Kreuzprodukt von r_r und r_phi. Und den Ortsvektor ins Feld eingesetzt.

Danach integriert nach dr dphi über

r=0 bis r=2
und
phi=0 bis phi=2*pi

Aber ich glaube das ist schon falsch.

Grüße

23.12.2010, 09:14

Lampe16

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Zylinderkoordinaten passen. Auf der Mantelfläche ist r=2, d.h. konstant. Die Parameter der Fläche sind $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z. \end{eqnarray*}$ Die schiefe Ebene als Grenze hat in der Fläche nichts zu suchen; sie gehört in eine Integrationsgrenze.

23.12.2010, 12:25

thorsten1985

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Also habe ich das richtig verstanden, das es dann lautet:

$\begin{eqnarray*} \vec r(t)=\begin{pmatrix} 2 cos \phi \\ 2 sin \phi \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und integriert wird nach r d_phi d_z

und die Intergationsgrenzen lauten z=0 bis z=2 cos phi+2

und

phi=0 bis phi=2*pi

und wie soll nun die andere Fläche paramtrisiert werden? DAs ist doch eine Art Ellipse oder?

Grüße

23.12.2010, 15:34

Lampe16

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Ich stelle mir den Fluss $\begin{eqnarray*} \Phi_M \end{eqnarray*}$ durch den Mantel wie unten vor. Dabei führe ich zur besseren Übersicht
$\begin{eqnarray*} R=2 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} Z=2 \end{eqnarray*}$
ein.

$\begin{eqnarray*} \Phi_M=\int_0^{2\pi}\int_0^{Z_o} \begin{pmatrix} x^2\\ y^2\\ z^2\end{pmatrix} \mathrm{d}zR\mathrm{d}\varphi\begin{pmatrix} x\\ y\\ 0\end{pmatrix}/R \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} x=R\cos \varphi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=R\sin\varphi \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} Z_o=Z(1+\cos\varphi). \end{eqnarray*}$

Wenn du den Ansatz richtig findest, lohnt sich die Arbeit. Ich habe
$\begin{eqnarray*} \Phi_M=12\pi \end{eqnarray*}$
raus.

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23.12.2010, 16:32

thorsten1985

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Ok das sieht schon mal gut aus das habe ich auch raus. Jetzt nur die Frage, normalerweise müsste das Objekt ja noch aus einer Untereite bestehen und die schiefen Fläche ist ja durch die Integrationsgrenze der Mantelfäche begrenzt oder?

Sprich zu der Mantelfäche, müsste jetzt noch eine Kreisfläche hinzuaddiert werden oder?

Kreisfläche dann Standard:
$\begin{eqnarray*} \vec r(t)=\begin{pmatrix} R cos \phi \\ R sin \phi \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Integrationsgrenzen in Polarkoordn: r=0 bis r=2
und phi=0 bis phi=2*pi
(ABer sehe grad da würde 0 rauskommen, das kann irgendiwe nicht stimmen)

Dann hätte ich mal noch eine grundsätzliche Frage zu diesen Aufgaben, Stokes, Gauss und Flussintegral. Wie kann man am schnellsten die Integrationsgrenzen herausfinden, habe immer noch kein Schema gefunden.

Manche Dinge sind ja ganz einfach, aber wenn man komplizierte Geometrien vor sich hat tu ich mir schwer die zu bearbeiten zum einen die Paramtrisierung und die Integ grenzen.

Grüße

23.12.2010, 17:38

Lampe16

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Zitat:

Original von thorsten1985
Jetzt nur die Frage, normalerweise müsste das Objekt ja noch aus einer Untereite bestehen und die schiefen Fläche ist ja durch die Integrationsgrenze der Mantelfäche begrenzt oder? Sprich zu der Mantelfäche, müsste jetzt noch eine Kreisfläche hinzuaddiert werden oder?

Für die untere und die obere (schiefe) Stirnfläche muss auch noch jeweils das Flussintegral bestimmt werden, also noch zwei weitere Integrale. Auch da liegt die Hauptschwierugkeit wieder in den I-Grenzen - und die richtigen Normalen sind auch zu bestimmen. Versuchs erst mal und melde dich dann wieder.

Zitat:

Dann hätte ich mal noch eine grundsätzliche Frage zu diesen Aufgaben, Stokes, Gauss und Flussintegral. Wie kann man am schnellsten die Integrationsgrenzen herausfinden, habe immer noch kein Schema gefunden.

Ich kenne kein Schema, außer dass ich mir saubere Skizzen mache und mir die Objekte so gut vorstelle wie möglich - und dass Integrale nichts als Summen sind. Bei der Formulierung der Integrale und ihrer Grenzen stelle ich mir vor, ich müsste eine numerische Näherungsrechnung machen, welche die Summe aus endlichen kleinen Integrationselementen (skalare Wegschritte, Vektorschritte, Flächen, Volumina) zusammenstellt.

Ich habe auch noch eine Frage an dich. Du machst diese Übungen ja sicher zu einer Vorlesung. Wurden da die Begriffe Divergenz und Rotation koordinatenfrei eingeführt, bevor dann die Formeln für die verschiedenen Koo.-Syteme darauf losgelassen wurden?

23.12.2010, 17:49

thorsten1985

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Ja, das sind Klausuraufgaben die ich durchrechne. Leider habe ich nur die Endergebnisse und so gut wie keine Möglichkeit diese kontrollieren zu lassen, Wege dazu gibt es keine.

Koordinatenfrei wurden die eigentlich nicht eingeführt. Geh immer vom kartesischen KO aus. Und ersetze diese dann nach der jeweiligen Transformationsvorschrift. Also denke ich jedoch...für Vorschläge bin ich auch dankbar.

Also würde das für die AUfgabe dann bedeuten, das im oberen Beitrag ja die untere Kreisfläche doch richtig parametrisiert ist mit den jeweiligen Grenzen.

Aber die STirnfläche wäre doch eine Ellipse oder? Ich hab mal ne Zeichnung gemacht
Siehe ANhang

Grüße

23.12.2010, 18:48

Lampe16

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Zitat:

Original von thorsten1985

Koordinatenfrei wurden die eigentlich nicht eingeführt. Geh immer vom kartesischen KO aus. Und ersetze diese dann nach der jeweiligen Transformationsvorschrift. Also denke ich jedoch...für Vorschläge bin ich auch dankbar.

Schau dir in dieser Formelsammlung den Abschnitt A10.3 an. Da sieht man, woher die Integralsätze kommen.

Zitat:

Also würde das für die AUfgabe dann bedeuten, das im oberen Beitrag ja die untere Kreisfläche doch richtig parametrisiert ist mit den jeweiligen Grenzen.

Leider nein! Die Flächenelemente der unteren Stirnkreisflache heißen $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}r\,r \mathrm{d}\varphi \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ sind die Parameter.

Zitat:

Aber die [schiefe] Stirnfläche wäre doch eine Ellipse oder? Ich hab mal ne Zeichnung gemacht
Siehe ANhang.

Ja, genau! Die Halbachsen sind $\begin{eqnarray*} \sqrt{R^2+Z^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R. \end{eqnarray*}$
Schöne Zeichnung! Ansichten in Achsrichtung helfen oft noch mehr, weil sie sozusagen die "Kooordinatensprache" sprechen.

23.12.2010, 19:22

thorsten1985

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Bei mir sind doch die Parameter auch r und phi. Sehe grad nicht den Fehler, unten ist doch eine kreisfläche?

Der Ortsvektor müste doch richtig sein, danach nur noch um die Normale zu bekommen
(r_phi x r_z) dphi dz.

Ach was mir dazu gerade einfällt, woran sieht man eigentlich das der Normalenvektor in positive Richtung zeigt?, dazu muss man ja eigentlich immer die Zeichung im Kopf haben ohne geometrisches verständnis kann man die aufgaben scheinbar ja gar nit lösen.

Zu der Ellipse, aber wie schreibe ich da den Ortsvektor um die Normale heraus zu bekommen?

es gibt ja elliptische Koordinaten:

die wären ja: x=a*r *cos phi, y= b* r *sin phi

Grüße

23.12.2010, 21:37

Lampe16

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Zitat:

Original von thorsten1985
Bei mir sind doch die Parameter auch r und phi. Sehe grad nicht den Fehler, unten ist doch eine kreisfläche?

Dann habe ich mich wohl auf den falschen Beitrag von dir bezogen, pardon.

Zitat:

Ach was mir dazu gerade einfällt, woran sieht man eigentlich das der Normalenvektor in positive Richtung zeigt?, dazu muss man ja eigentlich immer die Zeichung im Kopf haben ohne geometrisches verständnis kann man die aufgaben scheinbar ja gar nit lösen.

Ja, so ist es. Der NV ist auf jeden Fakk der äußere NV.

Zur (unteren) Kreisfläche:
Der Fluss durch die untere Kreisfläche ist gleich null. Das "sieht" man, weil nur die z-Koordinate $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ dazu beiträgt. Die ist aber gleich null, weil die Fläche in der Ebene $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ liegt.

Zur Ellipsenfläche:
Deine Idee mit den elliptischen Koordinaten ist gut. Die y-Koordinate des Felds liefert hier keinen Beitrag.

Ich stelle mir den Fluss $\begin{eqnarray*} \Phi_E \end{eqnarray*}$ durch die Ellipse wie unten vor. Jetzt soll gelten:
$\begin{eqnarray*} R=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=\sqrt2 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} b=1. \end{eqnarray*}$
edit: Korrektur: Steiche a und b ersatzlos!

$\begin{eqnarray*} \Phi_E=\int_0^{2\pi}\int_0^R \begin{pmatrix} x^2\\ y^2\\ z^2\end{pmatrix} (\sqrt 2\mathrm{d}r\,r\mathrm{d}\varphi)\begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}/\sqrt 2 \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} x=r\cos \varphi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=r\sin\varphi \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} z=2+x. \end{eqnarray*}$
Ich habe
$\begin{eqnarray*} \Phi_M=16\pi \end{eqnarray*}$
raus.

23.12.2010, 22:02

thorsten1985

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Ok, also der letzte Schritt mit der Ellipse hätte ich so direkt nit gesehn gehabt. Vielen Dank für die Hilfe.

Hast du zufälligerweise noch Aufgaben zur Vektoranalysis mit Lösungsweg oder Lösungen?

Grüße

23.12.2010, 22:10

thorsten1985

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Aber warum ist a=sqrt(2) und b=1. Vor allem das b=1 verstehe ich nicht??

Grüße

23.12.2010, 22:22

Lampe16

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Zitat:

Hast du zufälligerweise noch Aufgaben zur Vektoranalysis mit Lösungsweg oder Lösungen?

Ich kenne nur ein Übungsbuch für Elektrotechniker: Haase, Garbe: Grundlagen der Elektrotechnik, Übungsaufgaben mit Lösungen, SchöneworthVerlag, 420 S., 22,50 Euro. Da sind 15 Seiten gelöste Aufgaben zur Feldtheorie drin. Aber leichter als deine hier. Es geht da mehr ums Verständnis.

Zitat:

Aber warum ist a=sqrt(2) und b=1. Vor allem das b=1 verstehe ich nicht??

Das sind Faktoren, mit denen die Radialkoordinate winkelabhängig gestreckt wird. $\begin{eqnarray*} aR \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} bR \end{eqnarray*}$ sind dann die Halbachsen.

edit
Die Erklärung zu a und b muss ich zurückrudern. a und b braucht man nicht. Lass die Parameter einfach weg, d.h. setze sie gleich eins. Bin wohl schon zu müde heute Abend.

23.12.2010, 22:28

thorsten1985

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Hi,

das a=sqrt(2) verstehe ich ja noch halbwegs. Aber wie kommst du aus der Aufgabenstellung auf b=1?

Grüße

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