Umkehrfunktion (ln)

22.12.2010, 22:21

Polliny

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Umkehrfunktion (ln)

Hi @ all

ich habe folgende funktion $\begin{eqnarray*} {ln{\left({\frac {1}{2+x}}\right)}} \end{eqnarray*}$

muss jetzt hier eine Umkerhrfunktion bilden.
Wie man eine Umkehrfunktion bildet ist mir klar

$\begin{eqnarray*} f\left({x}\right)=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$

und dann nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ umstellen und auflösen

$\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$

Aber wie bekomme ich das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus dem $\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$ raus.

$\begin{eqnarray*} {ln{\left({\frac {1}{2+y}}\right)}} = x \end{eqnarray*}$

22.12.2010, 22:27

Grouser

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RE: Umkehrfunktion (ln)
Im ersten Schritt durch's Potentieren.

Da du hier den natürlichen Lograrithmus (*wink*, ich habe dazugelernt) vorliegen hast, solltest du dementsprechend mit e^a auf beiden Seiten arbeiten.

edit: Ich habe e^x mal in e^a umgeschrieben, damit es vllt zu weniger Missverständnissen kommt. *fingers crossed*

22.12.2010, 22:40

Polliny

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omg sorry aber ich habe irgend wie überhaupt kA was e^x und ln gemeinsam haben

hab aber folgendes gefunden:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{log}_b \end{eqnarray*}$ Logarithmus zur Basis b

$\begin{eqnarray*} \operatorname{ln} \end{eqnarray*}$ natürlicher Logarithmus, der Logarithmus zur Basis e, der Eulerschen Zahl 2,7182818284590452…

Wie ich e^x jetzt einbringen kann ist mir noch nicht ganz klar

aber ich kann das ganze ja schon mal so schreiben

$\begin{eqnarray*} {ln{\left({1}\right)}}-{ln{\left({2+x}\right)}} \end{eqnarray*}$

oder?

aber kannst du mir erklären wie ich das jetzt e^x einbringe

EDIT

ok ich jetzt folgendes hergeleitet

$\begin{eqnarray*} {ln{\left({\frac {1}{2+x}}\right)}} \equiv {e }^{{x}}=\left({2+x}\right) \end{eqnarray*}$

22.12.2010, 22:50

Grouser

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Das kannst du natürlich schreiben, aber das ist erst einmal hinterlich.

Wenn ihr den Logarithmus eingeführt habt, habt ihr mit Sicherheit auch die Euler'sche Zahl $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ besprochen.

$\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ sind quasi direkte Gegenstücke.

Beispiele:

$\begin{eqnarray*} ln(e^x) = x, e^{ln x} = x \end{eqnarray*}$

In deinem Fall also:

$\begin{eqnarray*} y = ln \left( \frac{1}{2 + x} \right) | e^x<br /> \Leftrightarrow e^y = e^{ln \left( \frac{1}{2 + x} \right)} \end{eqnarray*}$

Das kannst du nun auf der rechten Seite vereinfachen. Was da rauskommt möchte ich erst einmal dir überlassen (um zu sehen, ob du das soweit verstanden hast). Das geht anhand der Beispiele, die ich dir oben genannt habe.

22.12.2010, 22:51

Grouser

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Ich weiß nicht wie du auf das gekommen bist, was du da "hergeleitet" hast, allerdings ist das auch falsch.

22.12.2010, 23:47

Polliny

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sorry aber ich habe gerade eine kleine blockade aber nix verraten will selbst drauf kommen smile

smile

man kann doch auch sagen das
$\begin{eqnarray*} ln={{log}_{{e}}{}} \end{eqnarray*}$ richtig?

und es gilt ja die Allgemeine Regel
$\begin{eqnarray*} y={{log}_{{a}}{x}}\Leftrightarrow x={a}^{{y}} \end{eqnarray*}$

Dann wäre ja
$\begin{eqnarray*} ln(e^x) = x <br /> {ln^{x}}={e }^{{x}} \end{eqnarray*}$

und nicht :

$\begin{eqnarray*} e^{ln x} = x \end{eqnarray*}$

oder verstehe ich da was falsch?

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23.12.2010, 00:18

Grouser

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Zitat:

Original von Polliny
sorry aber ich habe gerade eine kleine blockade aber nix verraten will selbst drauf kommen smile

smile

man kann doch auch sagen das
$\begin{eqnarray*} ln={{log}_{{e}}{}} \end{eqnarray*}$ richtig?

Richtig. Wobei das "=" eigentlich nicht ganz korrekt ist. Man müsste sagen $\begin{eqnarray*} ln(x) \Leftrightarrow log_e(x) \end{eqnarray*}$

und es gilt ja die Allgemeine Regel
$\begin{eqnarray*} y={{log}_{{a}}{x}}\Leftrightarrow x={a}^{{y}} \end{eqnarray*}$

Richtig.

Dann wäre ja
$\begin{eqnarray*} ln(e^x) = x <br /> \end{eqnarray*}$
Richtig.

$\begin{eqnarray*} {ln^{x}}={e }^{{x}} \end{eqnarray*}$

Falsch.

$\begin{eqnarray*} ln^x \end{eqnarray*}$ existiert in der Form gar nicht. Wovon soll das auch der Logarithmus sein?

$\begin{eqnarray*} ln(e^x) = log_e(e^x) = x \end{eqnarray*}$ Wie du selbst schon geschrieben hast.

$\begin{eqnarray*} e^{ln(x)} = e^{log_e(x)} = x \end{eqnarray*}$ , denn

$\begin{eqnarray*} y = e^{ln(x)} \Leftrightarrow ln(y) = ln(e^{ln(x)}) \Leftrightarrow ln(y) = ln(x) \Leftrightarrow y = x \end{eqnarray*}$

Falls noch etwas unklar ist, einfach nachhaken.

23.12.2010, 00:19

Polliny

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Ich glaube ich habs

$\begin{eqnarray*} y = ln \left( \frac{1}{2 + x} \right) | e^x<br /> \Leftrightarrow e^y = e^{ln \left( \frac{1}{2 + x} \right)} \end{eqnarray*}$

Ich habe dich falsch verstanden:

$\begin{eqnarray*} ln(e^x) = x, e^{ln x} = x \end{eqnarray*}$
das eine entspricht dem anderen.

das heißt:

$\begin{eqnarray*} y = ln \left( \frac{1}{2 + x} \right) | e^x \end{eqnarray*}$
ich multipliziere mit $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$
kommt raus $\begin{eqnarray*} e^y = e^{ln \left( \frac{1}{2 + x} \right)} \end{eqnarray*}$

da es Gegenstücke sind heben Sie sich in $\begin{eqnarray*} e^{ln \left( \frac{1}{2 + x} \right)} \end{eqnarray*}$ auf.

weil:
$\begin{eqnarray*} e^{ln(1)} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{ln(5)} = 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(e^1) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(e^5) = 5 \end{eqnarray*}$

es bleibt
$\begin{eqnarray*} e^y = \frac{1}{2+x} \end{eqnarray*}$

23.12.2010, 00:20

Grouser

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Jap. Du hast es! Freude

Freude

23.12.2010, 00:36

Polliny

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hehehe ok ich versuche jetzt die Umkehrfunktion zu bilden

$\begin{eqnarray*} e^y = \frac{1}{2+x} \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} e^x = \frac{1}{2+y} \end{eqnarray*}$

2.
$\begin{eqnarray*} e^x = \frac{1}{2+y} | * \frac{1}{2+y} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2+y*e^x = 1 | -2 | :e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{-1}{e^x} \end{eqnarray*}$

somit ist $\begin{eqnarray*} f^{-1} = \frac{-1}{e^x} \end{eqnarray*}$

Bitte sag nicht das das nicht richtig ist smile

smile

23.12.2010, 00:49

Grouser

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Zitat:

Bitte sag nicht das das nicht richtig ist smile

smile

Tut mir leid.

$\begin{eqnarray*} e^x = \frac{1}{2+y} | * \frac{1}{2+y} \text{ das wäre }<br /> \frac{e^x}{2+y} = \frac{1}{(2+y)*(2+y)} \end{eqnarray*}$

Stattdessen solltest du rechnen:

$\begin{eqnarray*} e^x = \frac{1}{2+y} | * (2+y) \end{eqnarray*}$

23.12.2010, 00:53

Polliny

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ahhhh sorry hab ich auch gemacht nur falsch abgeschrieben

$\begin{eqnarray*} e^y = \frac{1}{2+x} \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} e^x = \frac{1}{2+y} \end{eqnarray*}$

2.
$\begin{eqnarray*} e^x = \frac{1}{2+y} | * \frac{2+y}{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2+y*e^x = 1 | -2 | :e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{-1}{e^x} \end{eqnarray*}$

somit ist $\begin{eqnarray*} f^{-1} = \frac{-1}{e^x} \end{eqnarray*}$

23.12.2010, 01:02

Grouser

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Zitat:

Original von Polliny
ahhhh sorry hab ich auch gemacht nur falsch abgeschrieben

$\begin{eqnarray*} e^y = \frac{1}{2+x} \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} e^x = \frac{1}{2+y} \end{eqnarray*}$

2.
$\begin{eqnarray*} e^x = \frac{1}{2+y} | * \frac{2+y}{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2+y*e^x = 1 | -2 | :e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{-1}{e^x} \end{eqnarray*}$

somit ist $\begin{eqnarray*} f^{-1} = \frac{-1}{e^x} \end{eqnarray*}$

Leider immer noch falsch. Du hast die Klammerung vergessen

$\begin{eqnarray*} e^x = \frac{1}{2+y} | * \frac{2+y}{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2+y)*e^x = 1 | :e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2+y = \frac{1}{e^x} |- 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{e^x} -2 | \text{mit } e^x \text{ erweitern} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{e^x} - \frac{2*e^x}{e^x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1 - 2*e^x}{e^x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{1 - 2*e^x}{e^x} \end{eqnarray*}$

23.12.2010, 01:20

Polliny

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ok, hmm....

warum erweiterst du hier mit $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{e^x} -2 | \text{mit } e^x \text{ erweitern} \end{eqnarray*}$

das verstehe ich nicht (also da wäre ich jetzt nicht drauf gekommen)

23.12.2010, 01:33

Grouser

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Naja, das ist Geschmackssache. Ich wollte die Funktion einfach noch einmal auf einen Bruch schreiben (alleine schon weil es in diesem Fall ja durchaus Probleme bei solchen Umformungen gab). Um das zu tun, muss ich mit dem Hauptnenner (hier e^x) erweitern (Subtraktion von Brüchen).

Natürlich stimmt auch das hier (und ist auch etwas übersichtlicher)

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) = \frac{1}{e^x} - 2 \end{eqnarray*}$

23.12.2010, 01:47

Polliny

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ach ja sorry nicht gleich gesehn

mein Kopf mach schon nicht mehr was er soll :-D

ICH DANKE DIR VIELMALS! und gn8

23.12.2010, 02:15

Grouser

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Gern geschehen.

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