rekurrenz berechnen

23.12.2010, 10:35	stud-ente	Auf diesen Beitrag antworten »
rekurrenz berechnen guten morgen und zwar ich bereite grad einige fragen/aufgaben für die klausur ende jänner vor und da bin ich auf eine aufgabe gestoßen wo ich leider gar nicht weiss wie ich anfangen soll. zu berechnen ist eine rekurrenz.. angabe: finden sie eine gechlossene form, die die rekurrenz n S(n) – (n+2) S(n-1) = n, n>0 mit dem anfangswert S(0) = 0 erfüllt. kann mir da jemand weiterhelfen? danke schon mal!! lg
23.12.2010, 11:24	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal heißt das umgestellt $\begin{eqnarray} S(n) = 1 + \frac{n+2}{n}S(n-1) \end{eqnarray}$ mit Startwert $\begin{eqnarray} S(0)=0 \end{eqnarray}$ . Was macht man, wenn einem erstmal überhaupt nichts einfällt? Nun, zunächst mal die ersten paar Werte gemäß dieser Rekursion ausrechnen: $\begin{eqnarray} S(1) = 1 + \frac{3}{1}\cdot 0 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S(2) = 1 + \frac{4}{2}\cdot 1 = 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S(3) = 1 + \frac{5}{3}\cdot 3 = 6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S(4) = 1 + \frac{6}{4}\cdot 6 = 10 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S(5) = 1 + \frac{7}{5}\cdot 10 = 15 \end{eqnarray}$ . Bei diesen Werten sollte man eigentlich auf eine Idee für die explizite Formel kommen - die man anschließend dann auch (durch Vollständige Induktion) für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ zeigen kann.
23.12.2010, 12:45	stud-ente	Auf diesen Beitrag antworten »
man o man.. ich hab jetzt gerade getüftelt und getüftelt.. hab rausbekommen das S(n)=2 S(n-1) - S(n-2) +1 ist usw. usw. bis es jetzt mal klick gemacht hat und aaaahh das ist doch $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n i \end{eqnarray}$ was nichts anderes ist als $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)n}{2} \end{eqnarray}$ zum induktionsbeweis (ich führ ihn kurz an, das ihr vill nur kurz sagt ob der beweis richtig ist) IVoraussetzung: $\begin{eqnarray} S(n) = \frac{(n+1)n}{2} \end{eqnarray}$ IAnfang: S(0)=0 bzw. S(1)=1 passt! ISchritt: n-->n+1 $\begin{eqnarray} S(n) = 1 + \frac{n+2}{n}S(n-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S(n+1) = 1 + \frac{n+3}{n+1}S(n) \end{eqnarray}$ IVorraussetzung einsetzen: $\begin{eqnarray} S(n+1) = 1 + \frac{n+3}{n+1}\frac{(n+1)n}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S(n+1) = \frac{2+(n+3)n}{2} \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} S(n+1) = \frac{(n+2)(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ passt so? wenn ja vielen dank für die hilfestellung
23.12.2010, 15:46	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, passt.

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