Differentialschreibweise der Umkehrregel

23.12.2010, 09:48

Mathe_2010?

Differentialschreibweise der Umkehrregel

Hallo,

Jetzt kurz vor Weihnachten plagt mich noch eine Frage:

Die Umkehrregel: $\begin{eqnarray*} (y^{-1})'(x)=\frac{1}{y'(y^{-1}(x))} \end{eqnarray*}$

muss man doch irgendwie auch in Differentialschreibweise hinbekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy^{-1}}{dx}= \frac{1}{\frac{d???}{d???}} \end{eqnarray*}$

Auf der rechten Seite der Gleichung im Nenner kann ja nicht stehen

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dy^{-1}} \end{eqnarray*}$

Da y ja nicht nach y' sondern eigentlich nach x abgeleitet werden soll. Lediglich das Funktionsargument ist anders, nämlich y^(-1) statt y. Aber wie drückt man das alles in der Differentialschreibweise aus?

Gruß

23.12.2010, 10:08

gonnabphd

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Hi,

Meinst du vielleicht folgendes?

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy}= \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \end{eqnarray*}$

Korrekt interpretiert ist das die Umkehrregel

23.12.2010, 10:44

Leopold

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Strenggenommen muß man unterscheiden zwischen den Variablen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ der Funktion und dem Funktionsbezeichner $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . In gewissen Teilgebieten der Mathematik, z.B. bei Differentialgleichungen, ist man da etwas großzügiger, weil es ungeschriebene Konventionen gibt, wie man etwas zu interpretieren hat, auch wenn es nicht ganz korrekt geschrieben ist.
Aber gerade dein Problem zeigt, daß es eben doch wichtig ist, die Dinge auseinanderzuhalten. Immer dann, wenn man etwas verstanden hat, darf man auch etwas légerer mit den Schreibweisen umgehen. Davor nicht.

Du schreibst $\begin{eqnarray*} y^{-1} \end{eqnarray*}$ , wo man besser $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ schriebe. Von vorne:

Gegeben ist eine differenzierbare und umkehrbare Funktion

$\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$

mit nicht verschwindender Ableitung. Durch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wird also jedem zulässigen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ zugeordnet. Das bedeutet diese Gleichung. Für die Ableitung gibt es nun zwei Schreibweisen, die erste verwendet den Funktionsbezeichner: $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ , die zweite nach Leibniz das Symbol $\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x} \end{eqnarray*}$ als formaler Bruch zweier Differentiale. Es ist also

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x} = f'(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt zur Umkehrabbildung. Die Variablen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ sind durch $\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$ aneinander gebunden. Da man im selben Kontext arbeitet, darf man die Variablen bei der Umkehrfunktion nicht umbenennen. Es heißt also korrekt

$\begin{eqnarray*} x = f^{-1}(y) \end{eqnarray*}$

und für die Ableitung:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd x}{\dd y} = \left( f^{-1} \right)'(y) \end{eqnarray*}$

Unterstellt man, daß auch $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, so folgt aus

$\begin{eqnarray*} \left( f^{-1} \circ f \right)(x) = x \end{eqnarray*}$

mit der Kettenregel

$\begin{eqnarray*} \left( f^{-1} \right)' \left( f(x) \right) \cdot f'(x) = 1 \end{eqnarray*}$

also, wenn man nach $\begin{eqnarray*} \left( f^{-1} \right)' \left( f(x) \right) = \left( f^{-1} \right)'(y) \end{eqnarray*}$ auflöst:

$\begin{eqnarray*} \left( f^{-1} \right)'(y) = \frac{1}{f'(x)} \end{eqnarray*}$

Und wenn du hier wieder die Leibnizsche Symbolik verwendest, heißt es tatsächlich

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd x}{\dd y} = \frac{1}{\frac{\dd y}{\dd x}} \end{eqnarray*}$

Nur der Hauptbruchstrich auf der rechten Seite ist ein echter Bruchstrich, der andere rührt von der Leibnizschen Schreibweise als formaler Bruch her.

23.12.2010, 21:54

Mathe_2010?

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Vielen Dank, Leopold, für die ausführliche Erklärung. Ich fand das alles sehr einleuchtend.

Nur noch eine Frage:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx} } \end{eqnarray*}$

Nur der Hauptbruchstrich auf der rechten Seite ist ein echter Bruchstrich, der andere rührt von der Leibnizschen Schreibweise als formaler Bruch her.

Heißt das, dass man das dx auf der rechten Seite nicht nach oben in den Zähler des Hauptbruchs ziehen darf? Denn solche Sachen (Umstellen, Kürzen etc. von Differentialen) habe ich schon sehr häufig gesehen. Darf man das streng genommen nicht?

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