Reihen und Reihenentwicklung

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Felix-7 Auf diesen Beitrag antworten »
Reihen und Reihenentwicklung
Meine Frage:
Hallo, Ich sitze jetzt schon einige Zeit vor meinem Mathe Skript und hab auch hier im Forum schon gewühlt aber ich verstehe einfach nicht wie man so eine Reihe mit ner Fakultät anhand des Quotientenkriteriums löst? Ich hab hiern Beispiel in meinem Skript ich kann die Schritte aber nicht nachvollziehen wie die Fakultäten gekürzt werden. In meinem Skript steht 1/2k! = nach Quotientenkriterium: (2n)!/(2n+2)! = 1/(2n+1)(2n+2) => 0 < 1
Außer dem letzten schritt das es gegen 0 geht und die Reihe somit konvergiert verstehe ich an diesem Beispiel nichts! wie kommt man vom einem zum anderen?

Meine Ideen:
Die Reihe 1/(2k!) konvergiert nach dem Quotientekriterium, denn: an+1/an = (2n)!/(2n+2) = 1/(2n+1)(2n+2) => 0 .... kann mir jemand diese Zwischenschritte nochmal für blöde erklären?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schreib dir doch (2n)! und (2n+2)! mal hin, da lässt sich einiges wegkürzen.
Grouser Auf diesen Beitrag antworten »

Also.
Erst einmal müssen wir klären, ob wir das Quotientenkriterium anwenden dürfen.



Also prüfe zunächst nach, ob du so ein q findest. Dann sehen wir weiter.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

@Grouser,

wenn du schon prüfen willst, ob man das Quotientenkriterium anwenden darf, dann solltest du auch die richtige Bedingung hinschreiben die es zu überprüfen gilt; du hast schon die Folgerung für die absolute Konvergenzg nach der Anwendung angegeben.
Felix-7 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube dir und bin mir sicher das man diese Fakultäten irgendwie kürzen kann.... Wie gesagt diese Aufgabe ist ein Beispiel unsres Profs ausm Mathe Skript nur verstehe ich die Zwischenschritte nicht! Es würde mir vielleicht helfen wenn mir einer erklären könnte wie man von der einen auf die nexte Zeile kommt....

laut skript wird aus 1/k! wenn man Quotietenkriterium [an+1/an] anwedet (2n)!/(2n+2)! vielleicht kann mir das wer erläutern?

und den 2ten schritt wie sich die fakultäten wegkürzen versteh ich auch nicht wie wird aus
(2n)!/(2n+2)! => 1/(2n+1)(2n+2) ???

danke für eure bemühungen!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist die Fakultät denn definiert? Schreib es dir doch einfach mal aus.
 
 
Felix-7 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das wird wohl mit mein Problem sein wie Fakultät definiert ist... Habe leider vor diesem Semester noch nie zuvor was über Fakultäten gehört deswegen weis ich nicht was ich nach (2n)!/(2n+2)! weiter machen kann.... mir fehlen die Rechenregeln zu Fakultäten wie kann mn diese Faktorisieren kürzen vereinfachen? ich weis lediglich das (2n)! je nach n für n=3 beispielsweise 6*5*4*3*2*1 ist und ich das eben dann durch 8*7*6*5*4*3*2*1 teilen müsste wobei sich hier nach meinem verständniss alles ab der 6 wegkürzen lässt so das ich 1/15 erhalte.... aber das hilft mir nich dabei weiter zu verstehen wie man vom einen term zum anderen kommt.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann könntest du doch einfach mal die Definitionen nachschlagen, das sollte doch im Rahmen deiner Möglichkeiten liegen. unglücklich

Eine Definition dazu solltest du in deinem Skript finden, ansonsten bieten sich noch viele andere Möglichkeiten im Internet fündig zu werden.
Felix-7 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weis jetzt zwar nicht genau wie mir das weiterhelfen soll die fakultäten zu kürzen daher sie ja abhängig von n sind aber ich habe aus wikipedia folgende definition:

Für alle natürlichen Zahlen n ist

n! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot\ldots\cdot n = \prod_{k=1}^n k

als das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n definiert. Außerdem gilt analog zum leeren Produkt

0! = 1.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, also haben wir , jetzt wende das auf an.
Felix-7 Auf diesen Beitrag antworten »

du willst mich wohl irgendwie selbst zum ziel führen... lieber wäre es mir wenn du mir die oben geannnten zwischenschritte nennen könntest und ich dann selbst versuchen würde dies nachzuvollziehen...

ich verstehe noch nicht ganz wie diese methodik mir zum ziel verhelfen soll aber was du nun wohl von mir hören willst ist dass (2n)! das ganze lediglich multipliziert mit 2 ist?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Methodik empfehle ich einen Blick in Prinzip "Mathe online verstehen!".

Nein, einfach nur mit 2 multipliziert ist falsch, vielmehr bilden wir jetzt das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis 2n, versuch das mal mit dem Produktsymbol auszudrücken.

Danach dann ganz analog für .
Felix-7 Auf diesen Beitrag antworten »

naja dann multiplizieren wir jetzt wohl alle natürlichen zahlen für (2n+2)! dies würde dann anders als von mir bisher gedacht bedeuten für n=3 hätten wir (1*2*3)*2+2.

ist das jetzt richtig?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wir bilden das Produkt aller Zahlen von 1 bis 2n+2....

Bleib erstmal bei und versuch das mit dem Produktzeichen zu schreiben.
Felix-7 Auf diesen Beitrag antworten »

(2n)! mit produktsymbol also wohl 1*2*3*4*5*6..... 2n

@Iorekt vielleicht hast du auch einen Skype Account oder etwas wo ich kurzzeitig mit dir direkt chatten könnte? über das forum ist das leider doch etwas träge...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix-7
du willst mich wohl irgendwie selbst zum ziel führen... lieber wäre es mir wenn du mir die oben geannnten zwischenschritte nennen könntest und ich dann selbst versuchen würde dies nachzuvollziehen...

Diese Methodik, die überwiegend an den Unis praktiziert wird, halten wir nicht für zielführend. Sie erspart es dem Betreffenden, sich intensiv mit der Materie auseinanderzusetzen und sich mal in diesem Fall zu fragen, was mit n! bzw. (2n)! ausgedrückt wird. Der Lerneffekt ist entsprechend gering. Und mehr als das Erlernen der Fakultäten ist das Erlernen einer methodischen Vorgehensweise an der Uni unerläßlich.

Noch ein Tipp: wenn der Umgang mit einer Variablen Schwierigkeiten bereitet, dann setz doch einfach mal ein paar Werte, also n=1, 2, 3 ein.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, , jetzt schreib dir den Bruch mal in dieser Form auf, dann sollte dir auffallen was man kürzen kann.
Felix-7 Auf diesen Beitrag antworten »

??? ich verstehs immer noch net unglücklich woher nimmst du jetzt des (2n-1)*2n ??? was soll das bedeuten?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Na, welche natürliche Zahl kommt denn vor 2n? Wohl eine Zahl, die um 1 kleiner ist, also (2n-1).
Felix-7 Auf diesen Beitrag antworten »

also würde jetzt oben stehen (2n-3)(2n-2)(2n-1)(2n) / (2n-3)(2n-2)(2n-1)(2n)(2n+1)(2n+2) ..... jetzt könnte man alles kürzen bis auf (2n+1)und (2n+2)..... damit hätte ich verstanden wie man von (2n)! / (2n+2)! auf 1/(2n+2)(2n+1) kommt!!! dankeschön Iorek bin ja schonmal weiter ^^... jetzt noch zu meinem anderen problem das ich genannt hatte:

wenn ich für 1/(2k)! das quotietenkriterium anwende [an+1/an] wie komme ich dann auf (2n)! / (2n+2)! ??? wie genau muss man das quotietenkriterium den da anweden oder was ist genau an 1/(2k)! ist an?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ist noch etwas unschön aufgeschrieben, aber im Prinzip stimmt das so, ja.

Zum Kriterium: eine Reihe ist von der Form , bei uns ist das also .
Felix-7 Auf diesen Beitrag antworten »

danach wäre bei bei mir der nexte schritt 1/(2n+1)!/[großer bruchstrich]1/(2n)! .... woraufhin folgt (2n)!/(2n+1)!.... da kann aber nun noch etwas nicht stimmen oder iorek? wo liegt mein fehler?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

, also ist .
Felix-7 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Iorek Augenzwinkern damit hätte ich zwar nur diese eine beispielaufgabe des skriptes verstanden aber ich hoffe das hilft mir jetzt durch alle weiteren aufgaben durch...
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