Funktionsschar

23.12.2010, 14:40

Kaffeetasse

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Funktionsschar

Meine Frage:
Folgende Funktion sei gegeben:
$\begin{eqnarray*} f_{t}(x)=2t\sin(2x) -2t^{2} \end{eqnarray*}$
Und folgende Frage
In welcher Beziehung stehen t1 und t2 , wenn sich die zugehörigen Funktionen schneiden?

Meine Ideen:
Also mit Diskriminanten habe ich es nicht hinbekommen

23.12.2010, 15:02

system-agent

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Bedenke, wenn sich die zu $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ gehörigen Funktionen schneiden, dann tun sie das in einem festen Punkt, sprich an einer festen Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .
Also kriegst du
$\begin{eqnarray*} f_{t_1}(x_0)=f_{t_2}(x_0) \end{eqnarray*}$ .

Nun kannst du $\begin{eqnarray*} t_1\neq t_2 \end{eqnarray*}$ annehmen [wieso?].

23.12.2010, 21:20

Kaffeetasse

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RE: Funktionsschar
OK ich habs raus: falls es irgendwen interessiert: entweder t1=-t2 oder t2=-(t1+1)

23.12.2010, 22:00

corvus

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RE: Funktionsschar

Zitat:

Original von Kaffeetasse
gegeben:
$\begin{eqnarray*} f_{t}(x)=2t\sin(2x) -2t^{2} \end{eqnarray*}$
Und folgende Frage
In welcher Beziehung stehen t1 und t2 ,
wenn sich die zugehörigen Funktionen schneiden?

OK ich habs raus: falls es irgendwen interessiert:
entweder t1=-t2 oder t2=-(t1+1) unglücklich

unglücklich

und falls es dich interessiert :
............................ das ist nicht zu glauben! smile

smile

also überlege nochmal neu..

23.12.2010, 22:51

Kaffeetasse

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RE: Funktionsschar
Ok, nochmal mathematisch korrekt:
Wenn ft1(x)=ft2(x) gelten soll, dann muss entweder 1) oder 2) gelten:

1)t2=-t1
2)t2=+ oder -(|t1|-1) und sign(t1)!=sign(t2)
beziehungsweise:
t2=+ oder -(|t1|+1) und sign(t1)!=sign(t2)

Bemerkung zu Bedingung 2): ob man bei +-(|t1|-1) am Anfang +oder- nimmt, hängt davon ab, dass sign(t1)!=sign(t2). Es gibt also nur eine Lösung

24.12.2010, 12:13

corvus

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RE: Funktionsschar

Zitat:

gegeben:
$\begin{eqnarray*} f_{t}(x)=2t\sin(2x) -2t^{2} \end{eqnarray*}$
Und folgende Frage
In welcher Beziehung stehen t1 und t2 ,
wenn sich die zugehörigen Funktionen schneiden?

Zitat:

Original von Kaffeetasse
Ok, nochmal mathematisch korrekt:
Wenn ft1(x)=ft2(x) gelten soll, dann muss entweder 1) oder 2) gelten:

1)t2=-t1
2)t2=+ oder -(|t1|-1) und sign(t1)!=sign(t2)
beziehungsweise:
t2=+ oder -(|t1|+1) und sign(t1)!=sign(t2)

Bemerkung ... Es gibt also nur eine Lösung

lass es dir gesagt sein:
du hast längst nicht die allgemeine Lösung deiner Aufgabe

nur ein Beispiel
Zeichne dir die beiden Kurven mit t1= 0,5 und mit t2= 0,2
im gleichen Koordinatensystem..
da wirst du hoffentlich sehen, dass die zu diesen Werten gehörenden
Kurven einander wunderbar immer wieder schneiden..
(obwohl sie deine obigen Vorgaben nicht erfüllen - oder?)

Also: es gibt jede Menge von Möglichkeiten zwei verschiedene Werte
für t so zu wählen, dass es Schnittpunkte gibt.

Beginne also nochmal :etwas mehr Nachdenken ..
dann findest du vielleicht doch noch die Beziehung,
die t1 und t2 erfüllen sollten, damit die beiden zugehörigen
Graphen Schnittpunkte haben können.

............................................. Wink

Wink

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24.12.2010, 14:56

etzwane

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Vielleicht wird es klarer, wenn man substituiert
$\begin{eqnarray*} sin(2x_0) = z \end{eqnarray*}$
dann die Terme mit z zusammenfasst,
schaut, welcher Wertebereich für z möglich ist,
und daraus auf die Bedingungen für t1 und t2 schließt

24.12.2010, 22:20

Kaffeetasse

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Also ich weiß jetzt zumindest wo mein Fehler lag: Ich dachte t soll ein element von Z sein! Aber jetzt bin ich etwas ratlos.Nach der Substitution hab ich irgendwelchen Schwachsinn raus weil ich zwischen t1 und t2 unterscheide. z kann von 1 bis -1 alles sein. Aber könnt ihr mir einen Ansatz geben?

24.12.2010, 22:29

Kaffeetasse

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Also ich hab mir folgendes überlegt:
$\begin{eqnarray*} sign(t_{1})\neq sign(t_{2}) \wedge max(| t_{1} | ,| t_{2} | ) - min(| t_{1} | ,| t_{2} | ) \leq 1 \end{eqnarray*}$
Die Vorzeichen müssen unterschiedlich sein, weil es sonst grundsätzlich keine Schnittpunkte gibt und die Bedingung 2) muss gelten, weil bei einem Abstand zwischen den Beträgen von t1 und t1 größer 1 sich die Wertemengen nie berühren.

24.12.2010, 22:32

Kaffeetasse

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Das deckt nicht alle ab aber mehr.... könnt ihr mir einen Ansatz geben?

24.12.2010, 22:37

Kaffeetasse

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Ich hab halt nach der Substitution:
sin(2x)=u
u(2t1-2t2)=2t1^2-2t2^2

24.12.2010, 23:04

Kaffeetasse

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$\begin{eqnarray*} 2t_{1} \sin(2x) -2t_{1}^{2} = 2t_{2} \sin(2x) -2t_{2}^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Substitution: \sin(2x) = u \end{eqnarray*}$
Nach Umstellen erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} (2t_{1}-2t_{2})u= 2t_{1}^{2}-2t_{2}^{2} \end{eqnarray*}$
Nach der 3. Binomischen Formel muss folgendes gelten:
$\begin{eqnarray*} u= 2t_{1}+2t_{2} \end{eqnarray*}$
Nach Umstellen erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} u-2t_{2}= 2t_{1} \end{eqnarray*}$
Der Wertebereich von u ist [-1;1]

Ergo: Wenn man folgende Beziehung zwischen t1 und t2 aufbauen kann und u dabei im Wertebereich [-1;1] liegt, existieren Schnittpunkte.
$\begin{eqnarray*} u-2t_{2}= 2t_{1} \end{eqnarray*}$

PS: Bitte zeigt mir meinen Fehler, falls ich mich vertan habe. Und Entschuldigung, dass ich den Thread so zugemüllt habe... Aber ihr habt mir alle sehr geholfen... Dankeschön Freude

Freude

24.12.2010, 23:26

corvus

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Zitat:

Original von Kaffeetasse

Die Vorzeichen müssen unterschiedlich sein.... unglücklich

unglücklich

magst du denn nicht lesen was man dir schreibt? geschockt

geschockt

ich hatte dir oben doch das Beispiel t1= 0,5 und t2= 0,2
empfohlen ... da sind die Vorzeichen nicht unterschiedlich - oder?
..und .. gibt es Schnittpunkte?

Zitat:

Original von Kaffeetasse

... ihr mir einen Ansatz geben?

Wenn ft1(x)=ft2(x) gelten soll, dann ->

$\begin{eqnarray*} 2t_1\sin(2x_0) -2t_1^{2} = 2t_2\sin(2x_0) -2t_2^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (t_1- t_2)\sin(2x_0) = t_1^{2} -t_2^{2} = (t_1- t_2) (t_1+ t_2) \end{eqnarray*}$

und nun darfst du zuerst überlegen, was passiert wenn t1=t2 verwirrt

verwirrt

und wenn im anderen Fall $\begin{eqnarray*} t_1 \neq t_2 \end{eqnarray*}$ ist, dann darfst du teilen
und erhältst

$\begin{eqnarray*} \sin(2x_0) = (t_1+ t_2) \end{eqnarray*}$

und da du schon herausgefunden hast, dass
$\begin{eqnarray*} -1 \leq \sin(2x_0) \leq 1 \end{eqnarray*}$

kannst du jetzt zB
eine Aussage über diesen Betrag machen: $\begin{eqnarray*} | t_1 + t_2 | \end{eqnarray*}$ ..
welche? verwirrt

verwirrt

usw..

24.12.2010, 23:26

Kaffeetasse

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ACHTUNG: MEIN ERGO IST FALSCH:

also zur Berichtigung und Lösung:
$\begin{eqnarray*} -1\leq t_{1} +t_{2}\leq 1 \end{eqnarray*}$

24.12.2010, 23:47

corvus

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Zitat:

Original von Kaffeetasse
Lösung:
$\begin{eqnarray*} -1\leq t_{1} +t_{2}\leq 1 \end{eqnarray*}$

Freude

.. aber da war doch zu Beginn eine Frage gestellt..? ..
wäre prima, wenn du jetzt auch noch einen Antwortsatz formulieren könntest.

................................................ smile

smile

25.12.2010, 00:00

Kaffeetasse

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Sorry aber ich kann dir gerade nicht folgen...

25.12.2010, 00:08

Kaffeetasse

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Kann es vielleicht sein, dass dann folgendes gilt t2=-t1 + x
bei -1<=x<=1

PS: Die Ausformulierung ist unschön. Gibt es da eine bessere Möglichkeit?

27.12.2010, 20:37

etzwane

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Die Frage war doch:

Zitat:

In welcher Beziehung stehen t1 und t2 , wenn sich die zugehörigen Funktionen schneiden?

Eine Antwort könnte sein:

Damit sich die zugehörigen Funktionen schneiden, muss folgende Bedingung für t1 und t2 erfüllt sein: ..... und da kommt dein Ergebnis

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