Konvergenzgeschwindigkeit

23.12.2010, 19:18	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzgeschwindigkeit Ich habe mal eine ganz blöde Frage zum Thema "Konvergenzgeschwindigkeit von Iterationsverfahren". Und zwar gibt es ja folgende Formel für lineare Konvergenz: $\begin{eqnarray} \frac{\|\|x_{k+1}-x^{}\|\|}{\|\|x_{k}-x^{}\|\|}\leq c, k=0,1,2,... \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} x^{} \end{eqnarray}$ die zu findende Nullstelle ist. Bei Wikipedia und in meinem Numerik-Skript steht hier nun, dass gelten muss $\begin{eqnarray} 0<c<1 \end{eqnarray}$ . Soweit, so gut. Hier ist $\begin{eqnarray} p=1 \end{eqnarray}$ , p im Sinne von der folgenden Formel. Dann gibt es die allgemeinere Formel: $\begin{eqnarray} \frac{\|\|x_{k+1}-x^{}\|\|}{\|\|x_{k}-x^{}\|\|^{p}}\leq c, k=0,1,2,... \end{eqnarray}$ Und hier finde ich jetzt allerdings, dass "nur" gelten muss $\begin{eqnarray} c>0 \end{eqnarray*}$ . Und nun meine blöde Frage: Muss hier c wirklich nur noch "irgendwie" größer Null sein oder soll das c immer noch zwischen 0 und 1 liegen. Ich vermute Letzteres, denn sonst würde das ja irgendwie keinen Sinn machen.
23.12.2010, 20:40	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzgeschwindigkeit 1. Die lineare Konvergenz sichert auch die wirkliche Konvergenz. Denn dort ist c aus (0,1). 2. Bei den anderen muss man die Konvergenz eines Verfahren extra nachweisen. Dort ist c>0. [Wird in Vorlesungen gerne betont] Siehe zum Beispiel: [WS] Eindimensionale Nullstellenprobleme 2 - Das Newton Verfahren
23.12.2010, 20:53	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzgeschwindigkeit 1.) Was bedeutet "wirkliche Konvergenz"? 2.) Ich folgere daraus Folgendes: Wenn ich z.B. die Frage beantworten soll, für welche $\begin{eqnarray} \alpha > 0 \end{eqnarray}$ das Newtonverfahren zur Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x^{\alpha}, x\geq 0 \end{eqnarray}$ konvergiert (wobei die Nullstelle von f hier $\begin{eqnarray} x^{}=0 \end{eqnarray*}$ sein soll), so genügt es, den Fall von linearer Konvergenz zu betrachten? Sollte ich Dich auf die Schnelle missverstanden haben, dann entschuldige.
23.12.2010, 21:03	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzgeschwindigkeit Wirkliche Konvergenz bedeutet, dass die Folge {x^k} gegen x^* konvergiert. Das folgt aus den anderen Abschätzungen i.A. nicht.
23.12.2010, 21:10	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzgeschwindigkeit Danke! Und zu 2.) Stimmt es denn, dass es genügt den Fall der linearen Konvergenz zu untersuchen, wenn allgemein danach gefragt ist, für welche $\begin{eqnarray} \alpha >0 \end{eqnarray}$ das Newton-Verfahren konvergiert? Ich frage mich nämlich, was da gemeint ist: linear, quadratisch,... Besser wäre es natürlich, wenn ich jetzt wüsste, dass es ausreicht, den linearen Fall zu untersuchen. Da über den Startwert nichts Näheres gesagt ist, nur, dass er größer Null ist, man ja aber gar nicht weiß, ob er dicht genug am Nullpunkt dranliegt, kann man doch hier theoretisch auch nur die lineare Konvergenz betrachten, oder?
23.12.2010, 21:44	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzgeschwindigkeit Das gehört eher in diesen Thread Newton-Verfahren Ich habe da nun nicht wirklich Zeit zu. Du kannst mal in [WS] Eindimensionele Nullstellenprobleme - Beispiele schauen.
Anzeige

23.12.2010, 22:37	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzgeschwindigkeit Okay, danke bis hierher. Vielleicht komme ich ja noch weiter.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »