limsup von etwas berechnen, das ähnlich aussieht wie e

23.12.2010, 23:55

Bier17

limsup von etwas berechnen, das ähnlich aussieht wie e

und zwar von

$\begin{eqnarray*} \limsup \biggl(-1+\frac{1}{n}\biggr)^n \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass 1 rauskommt aber ich weiß nicht wie man das einsieht.

$\begin{eqnarray*} \lim \biggl(1+\frac{1}{n}\biggr)^n=e \end{eqnarray*}$ weiß ich zwar auch, aber nicht wie man es zeigt. würde das auch gerne wissen.

24.12.2010, 09:36

klarsoweit

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RE: limsup von etwas berechnen, dass ähnlich aussieht wie e

Zitat:

Original von Bier17
Ich weiß, dass 1 rauskommt aber ich weiß nicht wie man das einsieht.

Woher?

Schreibe $\begin{eqnarray*} \biggl(-1+\frac{1}{n}\biggr)^n = (-1)^n \cdot \biggl(1-\frac{1}{n}\biggr)^n \end{eqnarray*}$ .

Wogegen der 2. Faktor konvergiert, dürfte klar sein.

25.12.2010, 08:52

Bier17

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ ??

versuch grade es mir herzuleiten aber ich häng fest. hab versucht n durch -n zu substituieren

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} \biggl(1-\frac{1}{n}\biggr)^n=\lim_{-n \rightarrow \infty} \frac{1}{\biggl(1+\frac{1}{n}\biggr)^{n}} \end{eqnarray*}$

irgendwas stimmt da nicht unglücklich

25.12.2010, 10:21

corvus

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Zitat:

Original von Bier17
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ ??

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} \biggl(1-\frac{1}{n}\biggr)^n=\lim_{-n \rightarrow \infty} \frac{1}{\biggl(1+\frac{1}{n}\biggr)^{n}} \end{eqnarray*}$
............................................. Teufel

....... irgendwas stimmt da nicht

und dann noch dies:
"In der Mathematik bezeichnen Limes superior und Limes inferior einer Folge (xn)
den größten bzw. kleinsten Grenzwert konvergenter Teilfolgen von (xn).
Limes superior und Limes inferior
sind ein partieller Ersatz für den Grenzwert, falls dieser nicht existiert."

das ist ein Zitat aus
http://de.wikipedia.org/wiki/Limes_super..._Limes_inferior

denk mal darüber nach, nachdem du das, was klarsoweit dir aufgeschrieben hat,
nochmal ganz genau gelesen hast..

................................................... smile

25.12.2010, 15:46

Bier17

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ich versteh den hinweis nicht. es geht doch im moment nur um den 2. faktor,
der konvergiert ja und es gilt limsup=lim.

falls das alles bisschen wirr ist: ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim(1-\frac{1}{n})^n=1/e \end{eqnarray*}$

gilt unter der annahme, dass $\begin{eqnarray*} \lim(1+\frac{1}{n})^n=e \end{eqnarray*}$ gilt.

26.12.2010, 12:28

klarsoweit

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Substituiere in $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1 - \frac 1 n)^n \end{eqnarray*}$ n = m+1.

Dann kannst du den bekannten Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1 + \frac 1 n)^n = e \end{eqnarray*}$ nutzen.

26.12.2010, 18:17

Bier17

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Komme damit leider nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \lim_{m+1\rightarrow \infty}(1-\frac{1}{m+1})^{m+1}=\lim_{m\rightarrow \infty}(1-\frac{1}{m+1})^{m+1}= ??? \end{eqnarray*}$

Habs nochmal anders probiert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty}(1-\frac{1}{n})^{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(1-\frac{1}{n})^n(1+\frac{1}{n})^n}{(1+\frac{1}{n})^n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(1-\frac{1}{n^2})^n}{(1+\frac{1}{n})^n} \end{eqnarray*}$

nun müsste ich zeigen, dass der zähler gegen 1 geht aber mehr als große werte einsetzen und daraus schließen, dass das so ist kann ich nicht.

27.12.2010, 09:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bier17
Komme damit leider nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \lim_{m+1\rightarrow \infty}(1-\frac{1}{m+1})^{m+1}=\lim_{m\rightarrow \infty}(1-\frac{1}{m+1})^{m+1}= ??? \end{eqnarray*}$

Etwas mehr Phantasie sollte man an der Uni schon aufbringen:

$\begin{eqnarray*} ... = \lim_{m \to \infty}(\frac{m}{m+1})^{m+1} = \lim_{m \to \infty} \left( \frac{m}{m+1} \cdot \frac{1}{(\frac{m+1}{m})^m} \right) \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert der beiden Faktoren ist nun bekannt.

28.12.2010, 03:03

Bier17

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auch danke hier.

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