Vollständige Induktion, Bernouli'sche Ungleichung

24.12.2010, 16:40	saladin	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion, Bernouli'sche Ungleichung Meine Frage: Servus Leute, Also ich hab ein problem mit der Vollständigen Induktion. Also ich versteh shcon wie des geht und so... aber ich kapier einfach ned.... keine ahnung wie ich des formuliere ... ich zeigs euch an einem Beispiel : Zeigen Sie, dass die Bernouli'sche Ungleichung $\begin{eqnarray} (1+x)^{n} > 1+nx \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} n \geq 2 \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x > -1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ gilt. Lösung: Induktionsanfang: Für n=2 gilt: $\begin{eqnarray} (1+x)^{2} = 1+2x+x^{2} > 1+2x \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} x^{2} > 0. \end{eqnarray}$ Induktionsschritt: Es gelte $\begin{eqnarray} (1+x)^{n}>1+nx \end{eqnarray}$ für ein beliebiges $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x>-1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} (1+x)^{n+1}=(1+x)^{n}\cdot(1+x)>(1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1+x)^{n}\cdot(1+x)>1+(n+1)x \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} nx^{2} > 0 \end{eqnarray}$ Damit ist die Behauptung gezeigt. Meine Ideen: So... mein Promblem ist nun folgendes. Nach dieser Rechnung ist die Reihenfolge der 3 Therme ja folgende: $\begin{eqnarray} (1+x)^{n+1}>1+(n+1)x+nx^{2}>1+(n+1)x \end{eqnarray}$ Was mich an der ganzen Sache jetzt stört ist: Warum ist die Behauptung gezeigt, wenn $\begin{eqnarray} 1+(n+1)x+nx^{2}>1+(n+1)x \end{eqnarray}$ gilt? Ich meine, dass es gilt ist ja keine frage, schließlich ist $\begin{eqnarray} nx^2>0 \end{eqnarray}$ Aber was wenn die Reihenfolge folgende wäre: $\begin{eqnarray} (1+x)^{n+1}>1+(n+1)x>1+(n+1)x+nx^{2} \end{eqnarray}$ ?? Wäre die Behauptung dann falsch? In meinen Augen wäre sie dann erst recht richtig. Ich hoffe ihr habt mich verstanden ... ist bisschen scheise mein Problem zu vertexten Gruß saladin
24.12.2010, 18:28	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Behauptung wäre dann ebenfalls bewiesen. Was du beim Induktionsschritt zeigen willst, ist eigentlich einfach: $\begin{eqnarray} (1+x)^{n+1} > 1+(n+1)x \end{eqnarray}$ Sobald du das stehen hast, bist du fertig. Dabei macht es natürlich Sinn, $\begin{eqnarray} (1+x)^{n+1} \end{eqnarray}$ irgendwie nach unten abzuschätzen, um zur gewünschten Ungleichung zu kommen... Wie würdest du denn "direkt" zur zu zeigenden Ungleichung kommen? MfG
24.12.2010, 20:11	saladin	Auf diesen Beitrag antworten »
"direkt" gehts gar nicht.... ich glaub ich hab geschnallt was du meinst... danke =)

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