x³ Bijektion auf gewissen endlichen Körpern

25.12.2010, 01:30

ElToro

x³ Bijektion auf gewissen endlichen Körpern

Hallo allerseits,

ich lese gerade ein Kryptographie-Paper in dem behauptet wird, dass in einem endlichen Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q = p^n, p \text{ prim}, p > 3, n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} q = 2 \text{ (mod 3)} \implies x \mapsto x^3 \text{ ist eine Bijektion} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_5, \mathbb{F}_{11}, \mathbb{F}_{17} \end{eqnarray*}$ kann man das leicht ausrechnen:
http://bit.ly/hSnwCi
http://bit.ly/hfejZ1
http://bit.ly/gmKk2h
(Alle drei Links gehen zu Wolfram Alpha)

Bei $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_7, q = 7 = 1 \text{ (mod 3)} \end{eqnarray*}$ gilt das Resultat nicht (http://bit.ly/fitcz1).

Nun wüsste ich gerne wie man diese Aussage beweisen kann oder wonach ich genau suchen muss, wenn ich einen Beweis finden will.

Bin für jeden Tipp dankbar!

Weihnachtliche Grüße an alle!

25.12.2010, 17:14

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn in einem endlichen Körper $\begin{eqnarray*} x^3=y^3 \end{eqnarray*}$ für verschiedene x,y gilt, so hat $\begin{eqnarray*} xy^{-1} \end{eqnarray*}$ in der multiplikativen Gruppe die Ordnung 3.

26.12.2010, 10:17

mathematicus198334

Auf diesen Beitrag antworten »

@tmo:
Woher weiß man das? Wo kann man das nachlesen?

26.12.2010, 10:49

ElToro

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für den Tipp @ timo!

mathematicus198334, das bekommst du, wenn du $\begin{eqnarray*} x^3=y^3 \end{eqnarray*}$ von rechts mit $\begin{eqnarray*} y^{-3} \end{eqnarray*}$ multiplizierst: $\begin{eqnarray*} (xy^{-1})^{3} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Aber da die Ordnung der Elemente die Gruppenordnung $\begin{eqnarray*} p^n \end{eqnarray*}$ teilen muss (Satz von Lagrange) und $\begin{eqnarray*} p > 3 \end{eqnarray*}$ muss die Ordnung von $\begin{eqnarray*} xy^{-1} \end{eqnarray*}$ gleich 1 sein.

Ich denke daraus kann man folgern, dass $\begin{eqnarray*} xy^{-1} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Nun weiß ich nur nicht, an welcher Stelle es einen Unterscheid macht, ob man $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q = 1 \text{ mod } 3 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} q = 2 \text{ mod } 3 \end{eqnarray*}$ hat.

26.12.2010, 10:53

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie viele Elemente hat denn die multiplikative Gruppe eines Körpers, wenn der Körper selbst q Elemente hat?

Zitat:

Original von ElToro
Aber da die Ordnung der Elemente die Gruppenordnung $\begin{eqnarray*} p^n \end{eqnarray*}$ teilen muss (Satz von Lagrange) und $\begin{eqnarray*} p > 3 \end{eqnarray*}$ muss die Ordnung von $\begin{eqnarray*} xy^{-1} \end{eqnarray*}$ gleich 1 sein.

Das ist nämlich falsch. Beachte, dass wir uns in der multiplikativen Gruppe befinden.

26.12.2010, 11:02

ElToro

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} q-1 \end{eqnarray*}$ , da die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ in der multiplikativen Gruppe nicht enthalten ist. Ja gut, dann macht das Sinn. Dankesehr!!

Neue Frage »

Antworten »

x³ Bijektion auf gewissen endlichen Körpern

Verwandte Themen