unstetige Funktionen

Neue Frage »

Medwed Auf diesen Beitrag antworten »
unstetige Funktionen
Hi,

hat eigentlich jede "Rationale" Funktion Sprungstellen/unstetige Stellen?

Also immer wenn ich bei einer "Rationale" Funktion das Nennerpolynom auf "0" bringe, dann ist das schon hinreichend für eine unstetige Stelle?

-----------------------------------------------------------------------------------------

Außerdem, wie gehe ich vor, wenn ich eine Funktion auf Stetigkeit untersuche?

Also ich habe die Definition: Eine Funktion ist stetig, wenn an der betrachteten Stelle der Grenzwert der Funktion gleich (=) dem Funktionwert ist.

Also ich kann die Definition unmöglich auf jeder Stelle im Defintionsbereich der reellen Zahlen anwenden.
- Meine erste Überlegung wäre, dass wenn ich auf Stetigkeit eine Funktion untersuche, dann nehme ich das Gegenteil an und suche nach Sprungstellen.

Also ich kann die "Sprungsstellen SEHEN", wenn ich einen Graph zeichnen würde mit Hilfe eines grafikfähigen Taschenrechners.
Aber wie funktionert das rein rechnerisch ohne grafische Hilfe?

Meine Überlegung wäre;

(1) Ich greife mir besondere Stellen heraus wie an der Stelle wo der Funktionswert 0 wird -> mögliche unstetige Stelle.

(2) Schaue mir die Ränder der Definitionsbereiche an (Übergänge), wenn ich eine Funktion habe, die sich aus mehreren Funktionen zusammensetzt.


Vielen Dank für eure Hilfe!

------------------------------------

Sorry, falscher Bereich im Forum,
Ich wollte das Thema in Hochschulmathematik reinstellen.
schultz Auf diesen Beitrag antworten »

stellen wo der funktionswert 0 wird sind keine unstetigkeitsstellen...
sonst sind deine überlegungen soweit okay, du schaust nach stellen wo die funktion nicht definiert sein könnte und betrachtest die ränder
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Medwed,

ich habe dein Thema mal in den Hochschulbereich verschoben.

Mal zwei kurze Anmerkungen zum Thema: hat man eine rationale Funktion gegeben, soll heißen den Quotienten zweier Polynome und sonst nichts, dann ist die Funktion an einer Nullstelle des Nennerpolynoms nicht definiert und es macht überhaupt keinen Sinn von Stetigkeit oder Ähnlichem zu sprechen, da dies eine Eigenschaft einer Stelle des Definitionsbereichs ist.

Es gibt außerdem in der Regel nicht "den Grenzwert". Im Fall einer Funktion von den reellen Zahlen in ebendiese kann man beide einseitigen Grenzwerte betrachten, diese müssen gleich sein und mit dem Funktionswerrt an der betrachteten Stelle übereinstimmen. Dann ist die Funktion stetig. Schaut man sich Funktionen in höherdimensionalen Bereichen an, so sollte man sich einer praktikableren Definition bedienen, da es dort weit mehr als nur zwei Grenzwerte gibt.
Medwed Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, Danke schon mal für eure Antworten.

Ich verstehe einfach den folgenden Punkt nicht.

Wenn ich eine rationale Funktion habe und wähle mein x aus dem Definitionsbereich so, dass das Nennerpolynom "0" wird.
Warum ensteht da eine Definitionslücke? Warum?

Ich weiß zwar, dass man nicht durch 0 teilen/dividieren darf - es ist nicht definiert. Aber warum ensteht da eine Lücke?

Ich kann doch Werte aus dieser Definitionslücke einsetzen und der Funktionswert wird halt dein einfach "0".
Medwed Auf diesen Beitrag antworten »

Beispiel,

ich habe die gebrochenrationale Funktion: f(x) = ((2*x)-6)/(x+2)

http://www.mathematik.de/ger/fragenantwo.../kurvendisk.png
Unter diesem Link kann man die Funktion besser sehen!



Diese Funktion hat im Definitonsbereich bei -2 eine Definitionslücke.

Ich kann mir diese Lücke einfach nicht vorstellen.
Bei meiner Vorstellung, könnte ich -2 einsetzen, der Funktionswert wäre 0 und ich würde dann auf der x - Achse einen Punkt einzeichnen, also (-2/0).
Warum ist da kein Punkt? Was soll die Lücke?
Pavel Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast dir die Antwort doch schon selbst gegeben:

Zitat:
Ich weiß zwar, dass man nicht durch 0 teilen/dividieren darf - es ist nicht definiert.

Der Funktionswert deiner Funktion f an der Stelle -2 wäre:



und das ist offensichtlich weder 0 noch irgendetwas anderes, sondern einfach nicht definiert, da die Division durch Null nicht definiert ist.
Die Funktion hat dort also keinen Funktionswert; die Stelle gehört nicht zum Definitionsbereich.

Edit:

Zu deiner Aussage
Zitat:
Wenn ich eine rationale Funktion habe und wähle mein x aus dem Definitionsbereich so, dass das Nennerpolynom "0" wird.

Das geht schon gar nicht, da die Stellen, bei denen das Nennerpolynom Null wird, nicht zum Definitionsbereich gehören! Warum nicht? Siehe oben: Die Division durch Null ist gar nicht definiert, daher kann der Funktion dort kein eindeutiger Funktionswert zugeordnet werden.
 
 
Medwed Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Hilfe.
Ich habe es auch jetzt verstanden, aber noch eine interessante Frage habe ich.

Also die Multiplikation mit "0" ist definiert und ergibt immer "0".

Division durch "0" ist nicht definiert. Aber verhält sich wie "0". Das war einer meiner Blockaden die ich hatte.
Es sind zwei (2) unterschiedliche Dinge, aber verhalten sich gleich. Könnt ihr mir vielleicht noch ein paar Anmerkungen zu diesem erwähnten Punkt geben.
Ich finde nichts passendes bei Google zu diesem Unterschied.
Grouser Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso soll sich die Division durch 0 wie Null verhalten?

Die Multiplikation macht absolut keine Probleme. x*0 = 0, denn
0 ist das neutrale Element bzgl der Addition in den Körpern



Die Division hingegen macht Probleme:



Mit anderen Worten. Egal wie oft wie viele Nullen du addierst. Das Ergebnis bleibt immer Null und nähert sich keiner größeren Zahl an. Also kannst du eine beliebige - von Null abweichende Zahl - nicht sinnvoll durch Null teilen (für können wir das zunächst auch annehmen). Da die Division ja nun einmal die Umkehrung der Multiplikation ist, doch die Multiplikation kein Ergebnis für eine Gleichung kennt.
Medwed Auf diesen Beitrag antworten »

Die leere Menge ist NICHT gleich 0

Das wird das Problem sein.

Die Divison durch Null würde die leere Menge geben.
Die Multiplikation mit Null würde die Menge mit dem Element "0" geben.

Es sind zwei unterschiedliche Mengen, aber Verhalten sich nach dem Gefühl oder Intuitiv gleich, sind aber Mathematisch betrachtet etwas völlig anderes.
Medwed Auf diesen Beitrag antworten »

Mein letzter Post,

stimmt das, was ich geschrieben habe?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Medwed,

Mach' dir mal nicht zu viele Gedanken über Division durch null. Wenn du's nicht gleich verstehst, dann akzeptier' vorläufig einfach, dass man das nicht gescheit definieren kann.

Vielleicht verstehst du mit ein bisschen mehr wissen ja dann auch besser, weshalb das so sein muss.

Ich starte noch einen letzten Erklärungsversuch:

  • Es sei a eine reelle Zahl. Wir wollen die Funktion betrachten. Dazu unterscheiden wir zwei Fälle:

  • Erster Fall : Dann ist die Funktion bijektiv (Übung: Zeige das). Folglich gibt es eine Umkehrabbildung

  • Zweiter Fall : Dann gilt für die Funktion und jedes beliebige x: , also ist die Funktion nicht bijektiv (und auch nicht injektiv). Deshalb kann es auch keine Umkehrfunktion geben.


Nun beachte: Man schreibt im ersten Fall diese Umkehrfunktion auch gerne als

So gesehen ist also bloss eine vereinfachende Schreibweise für die Umkehrfunktion von .

Die obige Betrachtung zeigt uns nun gerade, dass es eine Umkehrfunktion für nicht geben kann, womit dann auch der Ausdruck keinen Sinn mehr macht, denn wir haben ihn ja oben genau als Umkehrfunktion definiert.
Medwed Auf diesen Beitrag antworten »

Die letzte Eklärung mit der Umkehrabblildung ist hervorragend, DANKE!



Für a=0 ist die Funktion nicht mehr bijektiv -> nicht umkehrbar -> die Umkehrfunktion macht keinen Sinn.

Dann habe ich doch aber trotzdem eine Menge (in diesem Fall die leere Menge) oder nicht?:

M = { a = 0 | } = { } = leere Menge

Meine Aussage mit der leeren Menge [und der Menge, die die "0" als Element enthält,] ist doch das Resultat, wenn ich durch "0" dividiere -> Funktion nicht mehr bijektiv -> nicht umkehrbar -> die Umkehrfunktion macht keinen Sinn -> leere Menge.

Stimmt das?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, stimmen tut es eigentlich nicht wirklich.

Aber ich erahne einen richtigen Gedanken bei dir.

Wir können zwar nicht die Umkehrfunktion von betrachten, aber wir können natürlich schauen, was das Urbild von einer Menge ist. Vielleicht etwas verwirrend schreibt man für die Abbildung, welche jeder Menge die Urbildmenge unter einer Funktion zuordnet auch .

Das heisst, obwohl wir keine Umkehrfunktion für haben, gibt es die Abbildung , welche jeder Teilmenge von seine Urbildmenge zuordnet. (Ich möchte aber nocheinmal betonen, dass diese Abbildung nicht die Umkehrfunktion ist - man verwendet lediglich die gleiche Notation dafür...)

In diesem Sinne, wäre dann (beachte: was man in die Abbildung reinschiebt, sind Mengen, keine Zahlen):



falls , wobei die leere Menge ist und



Und dann bekäme man (indem man die Notation total und komplett missbraucht - Achtung: Das sollte man so nicht machen! - Ich überwinde mich jetzt mal für den guten Zweck dazu):






Das wäre so das, was deiner Argumentation von oben am nächsten käme. Aber ich muss jetzt duschen gehen, nach diesen zwei Linien von Notationsmissbrauch fühle ich mich ziemlich schmutzig... Hammer

Ich hoffe du siehst jetzt besser, weshalb falsch ist, und dass der Unterschied zwischen der Umkehrabbildung und der Urbildabbildung ein wichtiger ist.
Medwed Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Unterschied zwischen der Umkehrabbildung und der Urbildabbildung ein wichtiger ist.


Ach Gott, ja stimmt, ich kann mich wieder erinnern.

Zitat:
Mach' dir mal nicht zu viele Gedanken über Division durch null. Wenn du's nicht gleich verstehst, dann akzeptier' vorläufig einfach, dass man das nicht gescheit definieren kann.

Ich glaube, ich ziehe jetzt einen Strich. Die Informationen sind schon konstruktiv genug um mit meinen gebrochenrationalen Funktionen umzugehen.

Ich stelle jetzt bloss noch eine Frage ^^
D.h. wenn es nicht definiert ist, dann ist es einfach KEINE Menge (weder leere Menge noch Menge mit nur dem Element "0" oder sonstige Mengen)?

Durch die Mengenlehre an der Uni will ich alles auf den Begriff der Menge zurückführen.


Vielen Dank nochmals für eure Hilfe!
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
D.h. wenn es nicht definiert ist, dann ist es einfach KEINE Menge (weder leere Menge noch Menge mit nur dem Element "0" oder sonstige Mengen)?


Ja. Wenn eine Funktion f an einer Stelle x nicht definiert ist, dann kann man sie dort halt einfach nicht auswerten. D.h. der Ausdruck f(x) macht in diesem Falle dann einfach keinen Sinn.
Eine Funktion lebt nur auf einer bestimmten Definitionsmenge (also der Menge aller Punkte, auf welcher man sie definiert hat).

smile
Medwed Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, Danke!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »