[WS] Reihen

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[WS] Reihen
In diesem Workshop werden wir Reihen untersuchen. Dazu wird empfohlen, zuerst den [WS] Folgen durchgelesen und bearbeitet zu haben.

Übersicht:
  1. Definition einer Reihe und der Reihenkonvergenz
  2. Notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe
  3. (falsches) Auseinanderziehen von Reihen
  4. Cauchy-Kriterium für Reihen
  5. Dirichlet- und Leibnizkriterium
  6. Absolute Konvergenz von Reihen
  7. Majoranten- und Minorantenkriterium
  8. Quotientenkriterium
  9. Wurzelkriterium
  10. Cauchysches Verdichtungskriterium
  11. Weitere Aufgaben


Was ist eine Reihe?

Zitat:
Definition: Sei eine Folge, dann konstruieren wir als neue Folge . Die Glieder dieser Folge nennen wir -te Partialsummen und nennen wir Reihe über die Folge .


Beachte: ist vorerst nur ein Symbol, genau wie bei Folgen kann eine Reihe auch einen anderen Startwert wie z.B. oder allgemeiner annehmen.

Eine Reihe wird also immer über einer (vorhandenen) Folge gebildet, indem man die einzelnen Folgenglieder nacheinander aufsummiert.


Konvergenz einer Reihe

Zitat:
Definition: Eine Reihe heißt konvergent, wenn es ein gibt mit , wenn also die Folge der Partialsummen gegen konvergiert.
Für schreiben wir auch abkürzend .

Eine Reihe heißt divergent, wenn sie nicht konvergiert. Wir bezeichnen eine Reihe als bestimmt divergent, wenn die Folge der Partialsummen bestimmt divergent ist.



Das Symbol hat somit eine Doppelbedeutung; einerseits bezeichnet es die Reihe, andererseits bezeichnet es (im Falle der Existenz) den Grenzwert.


Beispiel für eine konvergente Reihe:

Es gilt , denn für gilt:
, die Reihe konvergiert also.

Beispiel für eine divergente Reihe

Die Reihe divergiert, denn für gilt mit der Gauß'schen Summenformel:
, und diese Folge konvergiert offensichtlich nicht (sie divergiert sogar bestimmt gegen ), die Reihe ist also nicht konvergent.
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Notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe

Sei eine Reihe, welche Bedingungen muss dann die Folge erfüllen, damit die Reihe überhaupt konvergieren kann?

Zitat:
Satz: Wenn die Reihe konvergiert, dann ist eine Nullfolge.


Beweis: Sei , also , dann erhalten wir mit den Grenzwertsätzen:



Beispiele
  • Die Reihe konvergiert nicht, da keine Nullfolge ist.

  • Die geometrische Reihe konvergiert für alle mit und im Fall der Konvergenz ist .

    Mit der geometrischen Summenformel erhält man für . Für ist , also .

    Weiter ist für , also divergiert die Reihe für alle .


Die Bedingung, dass eine Nullfolge ist, ist allerdings nicht hinreichend für die Konvergenz einer Reihe, wie man z.B. an der harmonischen Reihe sieht:

Es ist , aber die Reihe divergiert, denn:

Für gilt: .

Sei nun und mit , also . Für gilt dann:
, damit folgt die Divergenz.
 
 
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ein beliebter Fehler ist das falsche Auseinanderziehen von Reihen.

Zitat:
Lemma: Seien und konvergente Reihen, so konvergiert auch und es ist , d.h. .


Beweis: Setze , dann gilt für die Partialsummen der Reihe .

Für denn Fall, dass die Reihen beide konvergieren, ist diese Umformung richtig, aber:

, die letzten zwei Reihen sind nämlich beide divergent.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ähnlich wie bei Folgen erhält man:

Zitat:
Satz: Cauchy-Kriterium für Reihen

Die Reihe konvergiert genau dann, wenn es zu jedem ein gibt, so dass gilt: für alle .


Beweis: Es gilt für alle . Damit besagt die angegebene Bedingung, dass eine Cauchy-Folge ist, die Behauptung folgt jetzt direkt aus der Vollständigkeit von .

Das Cauchy-Kriterium ist aber hauptsächlich von theoretischem Interesse, für die Praxis gibt es geeignetere Kriterien, die wir auch noch ansprechen werden.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wir erhalten nun die ersten Kriterien um eine Reihe auf Konvergenz zu überprüfen.

Zitat:
Satz: Dirichletkriterium
Es sei eine Folge, so dass die Folge der Partialsummen beschränkt ist. Ist weiter eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die Reihe .


Vorbemerkung: Für den Beweis des Dirichletkriteriums verwenden wir die Abelsche partielle Summation (APS), die wir hier ohne Beweis angeben.

Zitat:
Satz: Seien gegeben. Setze , dann gilt für alle :
, insbesondere also


Beweis: Es gelte für alle . Zu wählen wir nun ein mit für alle . Dann gilt für alle :
. Da monoton fällt, ist weiter mit der Dreiecksungleichung

Nun folgt: und mit dem Cauchy-Kriterium konvergiert die Reihe.

Direkt aus dem Dirichlet-Kriterium erhält man ein weiteres Kriterium, das sich bei alternierenden Reihen anwenden lässt:

Zitat:
Satz: Leibnizkriterium
Sei eine monoton fallende Nullfolge. Dann konvergiert die Reihe .


Beweis: Setze , dann ist , also beschränkt. Dann folgt die Behauptung mit dem Dirichletkriterium.


Zu diesen Kriterien betrachten wir die folgenden

Beispiele:

  • Die Reihe konvergiert für alle nach dem Leibnizkriterium, denn für alle ist monoton fallend.

  • Sei , dann konvergiert die Reihe nach dem Dirichlet-Kriterium.
    Setze als monoton fallende Nullfolge, für erhält man dann mit der geometrischen Summenformel: .

    Mit folgt: , also ist die Folge der Partialsummen beschränkt.
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Absolute Konvergenz

Wir führen den Begriff der absoluten Konvergenz ein.

Zitat:
Definition: Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn die Reihe konvergiert.

Eine konvergente Reihe, die nicht absolut konvergent ist, heißt bedingt konvergent.


Es gilt:

Zitat:
Satz: Ist die Reihe absolut konvergent, so ist sie auch konvergent. Die Umkehrung gilt nicht.


Beweis: Auf die absolut konvergente Reihe wenden wir das Cauchy-Kriterium an.

Zu existiert ein mit für alle . Anwendung der Dreiecksungleichung liefert: für alle , also konvergiert .


Beispiele

  • Offensichtlich ist jede konvergente Reihe absolut konvergent, wenn

  • Für konvergiert die geometrische Reihe absolut, da ebenfalls eine geometrische Reihe ist.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wir erhalten weitere Kriterien um Reihen auf absolute Konvergenz zu überprüfen.

Zitat:
Satz: Majorantenkriterium
Sei eine konvergente Reihe. Die Reihe konvergiert absolut, wenn es ein sowie ein gibt, so dass für alle gilt.


Beweis:

Wir verwenden erneut das Cauchy-Kriterium. Zu existiert ein mit für alle . Damit folgt: . Also konvergiert .

heißt (konvergente) Majorante der Reihe .

Ähnlich lässt sich die Divergenz von Reihen nachweisen.

Zitat:
Satz: Minorantenkriterium
Sei eine divergente Reihe. Die Reihe divergiert, wenn es ein sowie ein gibt, sodass für alle gilt.


Beweis: Aus der Umkehrung des Majorantenkriteriums.

heißt (divergente) Minorante der Reihe

Beispiele:

  • Die Reihe konvergiert absolut, denn: es ist für alle , also ist eine konvergente Majorante.

  • Für alle ist , also . Somit ist die harmonische Reihe eine divergente Minorante der Reihe .
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Quotientenkriterium

Wir betrachten ein weiteres, wichtiges Konvergenzkriterium zum Nachweis der absoluten Konvergenz.

Zitat:
Satz: Quotientenkriterium
Sei eine Reihe mit . Setze , also . Dann gilt:

  1. Aus folgt die absolute Konvergenz der Reihe.
  2. Aus folgt die Divergenz der Reihe.


Als Spezialfall des Quotientenkriteriums erhält man noch:

Zitat:
Korollar: Sei eine Reihe mit . Es existiere . Gilt dann konvergiert die Reihe absolut, im Fall divergiert die Reihe.


Beweis: Wir beweisen die Aussage mit dem Majorantenkriterium.

  1. Sei und . Dann existiert ein , so dass für alle gilt; andernfalls hätte die Folge einen Häufungspunkt . Weiter gilt für alle :

    . Damit folgt für alle . Somit ist die geometrische Reihe wegen eine konvergente Majorante.

  2. Sei , dann existiert ein mit , also für alle . Nun folgt: für alle . Also ist keine Nullfolge und die Reihe divergiert.


Den Spezialfall erhält man direkt mit .

Beachte: im Fall bzw. lässt sich keine Aussage über Konvergenz oder Divergenz machen.

Einige Beispiele:

  • Die Exponentialreihe konvergiert für alle absolut.

    Für ist die Konvergenz klar, sei nun , also . Dann gilt: , damit konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium.

  • Wir betrachten die Reihe . Diese Reihe konvergiert absolut nach dem Quotientenkriterium, denn: .

  • Sei , dann ist die allgemeine harmonische Reihe. Das Quotientenkriterium liefert keine Aussage über die Konvergenz oder Divergenz dieser Reihe, denn:
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Wurzelkriterium

Für den Fall, dass das Quotientenkriterium keine Aussage über die Konvergenz einer Reihe liefert, kann das Wurzelkriterium weiterhelfen, da dieses schärfer als das Quotientenkriterium ist. Allerdings liefert auch das Wurzelkriterium nicht immer eine Konvergenzaussage.

Zitat:
Satz: Wurzelkriterium
Wir betrachten die Folge . Gibt es ein und ein mit , so dass für alle gilt, dann konvergiert die Reihe absolut.


Beweis: Die geometrische Reihe ist eine konvergente Majorante, damit folgt die Behauptung mit dem Majorantenkriterium.

Ähnlich wie beim Quotientenkriterium erhält man als

Zitat:

Korollar: Sei eine Folge. Existiert und gilt , so konvergiert die Reihe absolut. Ist , so divergiert die Reihe.


Im Fall lässt sich keine Aussage über die Konvergenz machen.

Beispiele:

  • Die Reihe konvergiert absolut nach dem Wurzelkriterium, denn:

  • Es bezeichne die imaginäre Einheit. Die Reihe konvergiert absolut nach dem Wurzelkriterium: für alle

  • Wie das Quotientenkriterium liefert auch das Wurzelkriterium keine Konvergenzaussage für die allgemeine harmonische Reihe mit :
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Cauchysches Verdichtungskriterium

Das folgende Kriterium liefert keine Aussage über die absolute Konvergenz, sondern nur über die Konvergenz einer Reihe.

Zitat:
Satz: Cauchysches Verdichtungskriterium
Sei eine Reihe mit . Dann hat diese Reihe das selbe Konvergenzverhalten wie die Reihe .


Eine Anwendung dieses Kriteriums haben wir z.B. bei der allgemeinen harmonischen Reihe, wo uns die bisherigen Kriterien keine Aussage geliefert haben.

Für sei die Reihe gegeben. Es gilt: , also , somit dürfen wir das Verdichtungskriterieum verwenden und erhalten: . Hierbei handelt es sich offensichtlich um eine geometrische Reihe mit . Diese konvergiert genau dann, wenn ist, d.h. . Nun folgt: die allgemeine harmonische Reihe konvergiert für alle und divergiert für alle
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Weitere Aufgaben

Weitere Aufgaben lassen sich leicht mit der Suchfunktion des Boards finden, zur Anregung vielleicht noch: Klausur Analysis 1, RWTH Aachen, Aufgabe 5 bzw. Wiederholungsklausur ANA 1, RWTH Aachen, Aufgabe 5 sind Klausuraufgaben zur Reihenkonvergenz, die sich mit dem Wissen aus diesem Workshop lösen lassen sollten.
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