[WS] Reihen |
26.12.2010, 02:24 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
[WS] Reihen Übersicht:
Was ist eine Reihe?
Beachte: ist vorerst nur ein Symbol, genau wie bei Folgen kann eine Reihe auch einen anderen Startwert wie z.B. oder allgemeiner annehmen. Eine Reihe wird also immer über einer (vorhandenen) Folge gebildet, indem man die einzelnen Folgenglieder nacheinander aufsummiert. Konvergenz einer Reihe
Das Symbol hat somit eine Doppelbedeutung; einerseits bezeichnet es die Reihe, andererseits bezeichnet es (im Falle der Existenz) den Grenzwert. Beispiel für eine konvergente Reihe: Es gilt , denn für gilt: , die Reihe konvergiert also. Beispiel für eine divergente Reihe Die Reihe divergiert, denn für gilt mit der Gauß'schen Summenformel: , und diese Folge konvergiert offensichtlich nicht (sie divergiert sogar bestimmt gegen ), die Reihe ist also nicht konvergent. |
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28.12.2010, 11:07 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe Sei eine Reihe, welche Bedingungen muss dann die Folge erfüllen, damit die Reihe überhaupt konvergieren kann?
Beweis: Sei , also , dann erhalten wir mit den Grenzwertsätzen: Beispiele
Die Bedingung, dass eine Nullfolge ist, ist allerdings nicht hinreichend für die Konvergenz einer Reihe, wie man z.B. an der harmonischen Reihe sieht: Es ist , aber die Reihe divergiert, denn: Für gilt: . Sei nun und mit , also . Für gilt dann: , damit folgt die Divergenz. |
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28.12.2010, 18:00 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ein beliebter Fehler ist das falsche Auseinanderziehen von Reihen.
Beweis: Setze , dann gilt für die Partialsummen der Reihe . Für denn Fall, dass die Reihen beide konvergieren, ist diese Umformung richtig, aber: , die letzten zwei Reihen sind nämlich beide divergent. |
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28.12.2010, 18:01 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ähnlich wie bei Folgen erhält man:
Beweis: Es gilt für alle . Damit besagt die angegebene Bedingung, dass eine Cauchy-Folge ist, die Behauptung folgt jetzt direkt aus der Vollständigkeit von . Das Cauchy-Kriterium ist aber hauptsächlich von theoretischem Interesse, für die Praxis gibt es geeignetere Kriterien, die wir auch noch ansprechen werden. |
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28.12.2010, 18:42 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wir erhalten nun die ersten Kriterien um eine Reihe auf Konvergenz zu überprüfen.
Vorbemerkung: Für den Beweis des Dirichletkriteriums verwenden wir die Abelsche partielle Summation (APS), die wir hier ohne Beweis angeben.
Beweis: Es gelte für alle . Zu wählen wir nun ein mit für alle . Dann gilt für alle : . Da monoton fällt, ist weiter mit der Dreiecksungleichung Nun folgt: und mit dem Cauchy-Kriterium konvergiert die Reihe. Direkt aus dem Dirichlet-Kriterium erhält man ein weiteres Kriterium, das sich bei alternierenden Reihen anwenden lässt:
Beweis: Setze , dann ist , also beschränkt. Dann folgt die Behauptung mit dem Dirichletkriterium. Zu diesen Kriterien betrachten wir die folgenden Beispiele:
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28.12.2010, 19:17 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Absolute Konvergenz Wir führen den Begriff der absoluten Konvergenz ein.
Es gilt:
Beweis: Auf die absolut konvergente Reihe wenden wir das Cauchy-Kriterium an. Zu existiert ein mit für alle . Anwendung der Dreiecksungleichung liefert: für alle , also konvergiert . Beispiele
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28.12.2010, 20:04 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wir erhalten weitere Kriterien um Reihen auf absolute Konvergenz zu überprüfen.
Beweis: Wir verwenden erneut das Cauchy-Kriterium. Zu existiert ein mit für alle . Damit folgt: . Also konvergiert . heißt (konvergente) Majorante der Reihe . Ähnlich lässt sich die Divergenz von Reihen nachweisen.
Beweis: Aus der Umkehrung des Majorantenkriteriums. heißt (divergente) Minorante der Reihe Beispiele:
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29.12.2010, 15:30 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Quotientenkriterium Wir betrachten ein weiteres, wichtiges Konvergenzkriterium zum Nachweis der absoluten Konvergenz.
Als Spezialfall des Quotientenkriteriums erhält man noch:
Beweis: Wir beweisen die Aussage mit dem Majorantenkriterium.
Den Spezialfall erhält man direkt mit . Beachte: im Fall bzw. lässt sich keine Aussage über Konvergenz oder Divergenz machen. Einige Beispiele:
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29.12.2010, 17:15 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wurzelkriterium Für den Fall, dass das Quotientenkriterium keine Aussage über die Konvergenz einer Reihe liefert, kann das Wurzelkriterium weiterhelfen, da dieses schärfer als das Quotientenkriterium ist. Allerdings liefert auch das Wurzelkriterium nicht immer eine Konvergenzaussage.
Beweis: Die geometrische Reihe ist eine konvergente Majorante, damit folgt die Behauptung mit dem Majorantenkriterium. Ähnlich wie beim Quotientenkriterium erhält man als
Im Fall lässt sich keine Aussage über die Konvergenz machen. Beispiele:
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30.12.2010, 01:36 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Cauchysches Verdichtungskriterium Das folgende Kriterium liefert keine Aussage über die absolute Konvergenz, sondern nur über die Konvergenz einer Reihe.
Eine Anwendung dieses Kriteriums haben wir z.B. bei der allgemeinen harmonischen Reihe, wo uns die bisherigen Kriterien keine Aussage geliefert haben. Für sei die Reihe gegeben. Es gilt: , also , somit dürfen wir das Verdichtungskriterieum verwenden und erhalten: . Hierbei handelt es sich offensichtlich um eine geometrische Reihe mit . Diese konvergiert genau dann, wenn ist, d.h. . Nun folgt: die allgemeine harmonische Reihe konvergiert für alle und divergiert für alle |
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30.12.2010, 23:46 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Weitere Aufgaben Weitere Aufgaben lassen sich leicht mit der Suchfunktion des Boards finden, zur Anregung vielleicht noch: Klausur Analysis 1, RWTH Aachen, Aufgabe 5 bzw. Wiederholungsklausur ANA 1, RWTH Aachen, Aufgabe 5 sind Klausuraufgaben zur Reihenkonvergenz, die sich mit dem Wissen aus diesem Workshop lösen lassen sollten. |
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