Monotonie, Krümmungsverhalten mit Parameter

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Tom987 Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonie, Krümmungsverhalten mit Parameter
Meine Frage:
Ich habe Probleme mit Parameter.
Also ich soll von: h(x)= 1/6x^4 + ax^2 die Nullstellen, Monotonie und Krümmungsverhalten bestimmen.
Könnt ihr mir sagen ob meins stimmt bzw. wie es weiter geht.

Meine Ideen:
Nullstelle:
0 = 1/6x^4 + ax^2
0 = x^2 (1/6x^2 + a)
x1/2 = 0
x3/4 = Wurzel aus ( -a : 1/6 )


Montonie:
h(x) = 1/6 x^4 + ax^2
h´(x) = 2/3x^3 + 2ax
h´(x) = 0
0 = x(2/3x^2 + 2a)
x1 = 0
x 2/3 = Wurzel aus -2a

Aber wie komm ich jetzt mit der Vorzeichentabelle weiter, wenn ein Paramteter drinn ist?


Krümmungsverhalten:
h´´(x) = 2x^2 + 2a
h´´(x) = 0
x1/2 = Wurzel aus -a

h´´(x) >0 ist Gh linksgekrümmt
h´´(x) <0 ist Gh rechtsgekrümmt

Muss ich den Paramter so bestimmen, dass jetzt etwas negatives bzw. positives rauskommt?
corvus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Krümmungsverhalten mit Parameter
Zitat:
Original von Tom987
Meine Frage:
Ich habe Probleme mit Parameter.
Also ich soll von: h(x)= 1/6x^4 + ax^2
die Nullstellen, Monotonie und Krümmungsverhalten bestimmen.


also: da solltest du gleich zu Beginn mit einer Fallunterscheidung arbeiten

1) a>0 ..
du wirst dann nur jeweils eine Nullstelle, ein Extremum
und eine einfache Aussage über Monotonie und Krümmung bekommen

2) a<0
für alle diese Fälle bekommst du drei Nullstellen und drei Extrema
usw ..

mach mal..
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Krümmungsverhalten mit Parameter
Ergänzend:
Zitat:
Original von Tom987
x3/4 = Wurzel aus ( -a : 1/6 )

-a : (1/6) kann man auch schöner schreiben.

Zitat:
Original von Tom987
0 = x(2/3x^2 + 2a)
x1 = 0
x 2/3 = Wurzel aus -2a

Da ist ein Schreib- oder Rechenfehler.

Zitat:
Original von Tom987
Aber wie komm ich jetzt mit der Vorzeichentabelle weiter, wenn ein Paramteter drinn ist?

Wen ein Polynom 3. Grades 3 Nullstellen hat, dann kann man schon recht viel über den Verlauf der Funktion (Vorzeichenwechsel) sagen.
Tom987 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Krümmungsverhalten mit Parameter
Zitat:
Original von Tom987
0 = x(2/3x^2 + 2a)
x1 = 0
x 2/3 = Wurzel aus -2a

Da ist ein Schreib- oder Rechenfehler.

Ich hab jetzt x2/3 = Wurzel aus -2a : (2/3)

Zitat:
Original von Tom987
Aber wie komm ich jetzt mit der Vorzeichentabelle weiter, wenn ein Paramteter drinn ist?

Wen ein Polynom 3. Grades 3 Nullstellen hat, dann kann man schon recht viel über den Verlauf der Funktion (Vorzeichenwechsel) sagen.[/quote]

Als müsste es - + - in der Vorzeichentabelle sein
Brauche ich dann noch eine Fallunterscheidung?
Tom987 Auf diesen Beitrag antworten »

Könnt ihr mir bitte sagen ob das stimmt:

Nullstelle:
0 = 1/6x^4 + ax^2
0 = x^2 (1/6x^2 + a)
x1/2 = 0
x3/4 = Wurzel aus -a : (1/6 )

Fallunterscheidung:

falls a = 0: eine 3-fache NST
falls a < 0: eine doppelte NST
falls a > 0: eine doppelte und 2 einfache NST


Krümmungsverhalten:
h´´(x) = 2x^2 + 2a
h´´(x) = 0
x1/2 = Wurzel aus -a

Gh ist linksgekrümmt im Intervall [ Wurzel aus - a; Unendlich[
Gh ist rechtsgekrümmt im Intervall ] - unendlich; Wurzel aus -a]

Mit Montonie komme ich nicht weiter
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tom987


Nullstelle:
0 = 1/6x^4 + ax^2
0 = x^2 (1/6x^2 + a)
x1/2 = 0
x3/4 = Wurzel aus -a : (1/6 )

Fallunterscheidung:

falls a = 0: eine 3-fache NST
falls a < 0: eine doppelte NST
falls a > 0: eine doppelte und 2 einfache NST

Könnt ihr mir bitte sagen ob das stimmt:

stimmt nicht
- aber dazu hatte ich dir oben schon mehr geschrieben Wink

.
 
 
Tom987 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh das nicht.
Wie soll ich denn vorher eine Fallunterscheidung machen?
Ich bekomme sicher 0 Punkte.
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tom987
Ich versteh das nicht.
Wie soll ich denn vorher eine Fallunterscheidung machen?
Ich bekomme sicher 0 Punkte.

aber da holen wir ganz schnell ganz viele Punkte raus:

du machst doch völlig richtig diesen Ansatz:

Nullstelle:
0 = 1/6x^4 + ax^2
0 = x^2 (1/6x^2 + a)

1) x²=0 => x1/2 = 0



und dann geht es so weiter:

2) (1/6x^2 + a) =0 ..also: =>
x² = - 6a
und hier ist dann die
Fallunterscheidung praktisch:
zwei reelle Lösungen gibt es doch nur , wenn -6a>0 also wenn a <0

und wenn nun a>0 ist, dann gibt es doch
für diesen zweiten Teil keine reellen Lösungen. oder?

also: wie ist nun die richtige Zusammenstellung: -> ..?
Tom987 Auf diesen Beitrag antworten »

Also falls a= 0 nur eine doppelte NST x1/2 = 0, keine weitere
falls a >0 eine doppelte NST x1/2 = 0, keine weitere
falls a < 0, eine doppelte NST x1/2 = 0 + 2 einfache NST
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

.
geht doch Freude

und jetzt mach dir vielleicht für jeden Fall erstmal eine kleine
Beispielzeichnung
etwa eine mit a=2/3 und eine mit a= - 2/3
oder so

dann siehst du exemplarisch, wie alle die entsprechenden Dinger
sich bezüglich Monotonie und Krümmung jeweils verhalten werden.

ok?
Tom987 Auf diesen Beitrag antworten »

okay vielen Dank smile
Tom987 Auf diesen Beitrag antworten »

Krümmungsverhalten:
h´´(x) = 2x^2 + 2a
h´´(x) = 0
x1/2 = Wurzel aus -a

Habe jetzt eine Linkskrümmung für alle a rausbekommen


Montonie:
0 = x(2/3x^2 + 2a)
x1 = 0
x 2/3 = Wurzel aus -3a

falls a > 0 immer streng monoton steigend

falls a < 0
]-unendlich; 0] streng monoton steigend
[0; Wurzel aus -3a] streng monoton fallend
[Wurzel aus -3a; unendlich[ streng monton steigend

stimmt das?
corvus Auf diesen Beitrag antworten »



Zitat:
Original von Tom987
Krümmungsverhalten:
Habe jetzt eine Linkskrümmung für alle a rausbekommen
nein, denn das wäre nur für a>0 richtig..

Montonie:
falls a > 0 immer streng monoton steigend
ganz und gar nicht

falls a < 0
]-unendlich; 0] streng monoton steigend
[0; Wurzel aus -3a] streng monoton fallend
[Wurzel aus -3a; unendlich[ streng monton steigend

stimmt das? nein


warum nimmst du meinen Vorschlag, jeweils ein Beispiel
für a<0 und eines füer a>0 zu zeichnen, einfach nicht an? geschockt

dann würdest du zB schon im Bild sehen, dass für a<0 die Kurve
drei Extrema hat
von links nach rechts gelesen siehst du dann:
die Kurve fällt zuerst monoton bis zum ersten Minimum
dann steigt sie bis zum Maximum ,
fällt dann wieder zum zweiten Minimum
um zum Schluss von dort streng monoton zu steigen

und diese Beobachtung kannst du dann rechnerisch bestätigen,
indem du die Vorzeichen der ersten Ableitung in den betreffenden
Intervallen untersuchst

usw

also bemühe dich mal ernsthaft:
wie ist das mit der Monotonie auch dann zB wenn a>0
und welche Krümmung haben die Kurvenbögen,
wann hat es Links- wann Rechtskurven..?

.
Tom987 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab es gezeichnet. Und ich habe keine Ahnung was Extrema sind.

h´´(x)=2x^2 + 2a
Das ist doch eine Parabel die nach oben geöffnet ist, also dachte ich sie kann nur linksgekrümmt sein.


Ich rechne jetzt erstmal Alles nochmal durch.
Tom987 Auf diesen Beitrag antworten »

Montonie:
h´(x)= 2/3x^3+2ax
a < 0
streng monoton fallend, streng monoton steigend, streng monoton fallend, streng monoton steigend

a > 0
streng monoton fallend, streng monoton steigend


Krümmungsverhalten:
h´´(x)=2x^2+2a
a>0 linksgekrümmt

a < 0
linksgekrümmt, rechtsgekrümmt, linksgekrümmt


Ich hoffe das stimmt jetzt
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tom987
Ich hab es gezeichnet. Und ich habe keine Ahnung was Extrema sind.


(relative) Extrema sind Hochpunkte (Maxima) oder Tiefpunkte (Minima)
du findest sie meist dort, wo die erste Ableitung den Wert 0 hat..


ist eine Parabel vierten Grades
sie ist symmetrisch zur y-Achse (warum?)
für a<0 hat sie zwei Minima und ein Maximum ( .. wo?)
deine summarische Aufzählung im letzten Beitrag (Monotonie/Krümmung)
sieht im Prinzip nicht schlecht aus.
.
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