Monotonie, Krümmungsverhalten mit Parameter |
26.12.2010, 11:54 | Tom987 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Monotonie, Krümmungsverhalten mit Parameter Ich habe Probleme mit Parameter. Also ich soll von: h(x)= 1/6x^4 + ax^2 die Nullstellen, Monotonie und Krümmungsverhalten bestimmen. Könnt ihr mir sagen ob meins stimmt bzw. wie es weiter geht. Meine Ideen: Nullstelle: 0 = 1/6x^4 + ax^2 0 = x^2 (1/6x^2 + a) x1/2 = 0 x3/4 = Wurzel aus ( -a : 1/6 ) Montonie: h(x) = 1/6 x^4 + ax^2 h´(x) = 2/3x^3 + 2ax h´(x) = 0 0 = x(2/3x^2 + 2a) x1 = 0 x 2/3 = Wurzel aus -2a Aber wie komm ich jetzt mit der Vorzeichentabelle weiter, wenn ein Paramteter drinn ist? Krümmungsverhalten: h´´(x) = 2x^2 + 2a h´´(x) = 0 x1/2 = Wurzel aus -a h´´(x) >0 ist Gh linksgekrümmt h´´(x) <0 ist Gh rechtsgekrümmt Muss ich den Paramter so bestimmen, dass jetzt etwas negatives bzw. positives rauskommt? |
||||||||
26.12.2010, 12:22 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Monotonie, Krümmungsverhalten mit Parameter
also: da solltest du gleich zu Beginn mit einer Fallunterscheidung arbeiten 1) a>0 .. du wirst dann nur jeweils eine Nullstelle, ein Extremum und eine einfache Aussage über Monotonie und Krümmung bekommen 2) a<0 für alle diese Fälle bekommst du drei Nullstellen und drei Extrema usw .. mach mal.. |
||||||||
26.12.2010, 12:26 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Monotonie, Krümmungsverhalten mit Parameter Ergänzend:
-a : (1/6) kann man auch schöner schreiben.
Da ist ein Schreib- oder Rechenfehler.
Wen ein Polynom 3. Grades 3 Nullstellen hat, dann kann man schon recht viel über den Verlauf der Funktion (Vorzeichenwechsel) sagen. |
||||||||
26.12.2010, 12:52 | Tom987 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Monotonie, Krümmungsverhalten mit Parameter
Da ist ein Schreib- oder Rechenfehler. Ich hab jetzt x2/3 = Wurzel aus -2a : (2/3)
Wen ein Polynom 3. Grades 3 Nullstellen hat, dann kann man schon recht viel über den Verlauf der Funktion (Vorzeichenwechsel) sagen.[/quote] Als müsste es - + - in der Vorzeichentabelle sein Brauche ich dann noch eine Fallunterscheidung? |
||||||||
26.12.2010, 13:27 | Tom987 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Könnt ihr mir bitte sagen ob das stimmt: Nullstelle: 0 = 1/6x^4 + ax^2 0 = x^2 (1/6x^2 + a) x1/2 = 0 x3/4 = Wurzel aus -a : (1/6 ) Fallunterscheidung: falls a = 0: eine 3-fache NST falls a < 0: eine doppelte NST falls a > 0: eine doppelte und 2 einfache NST Krümmungsverhalten: h´´(x) = 2x^2 + 2a h´´(x) = 0 x1/2 = Wurzel aus -a Gh ist linksgekrümmt im Intervall [ Wurzel aus - a; Unendlich[ Gh ist rechtsgekrümmt im Intervall ] - unendlich; Wurzel aus -a] Mit Montonie komme ich nicht weiter |
||||||||
26.12.2010, 14:01 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
stimmt nicht - aber dazu hatte ich dir oben schon mehr geschrieben . |
||||||||
Anzeige | ||||||||
|
||||||||
26.12.2010, 14:19 | Tom987 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich versteh das nicht. Wie soll ich denn vorher eine Fallunterscheidung machen? Ich bekomme sicher 0 Punkte. |
||||||||
26.12.2010, 14:36 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
aber da holen wir ganz schnell ganz viele Punkte raus: du machst doch völlig richtig diesen Ansatz: Nullstelle: 0 = 1/6x^4 + ax^2 0 = x^2 (1/6x^2 + a) 1) x²=0 => x1/2 = 0 und dann geht es so weiter: 2) (1/6x^2 + a) =0 ..also: => x² = - 6a und hier ist dann die Fallunterscheidung praktisch: zwei reelle Lösungen gibt es doch nur , wenn -6a>0 also wenn a <0 und wenn nun a>0 ist, dann gibt es doch für diesen zweiten Teil keine reellen Lösungen. oder? also: wie ist nun die richtige Zusammenstellung: -> ..? |
||||||||
26.12.2010, 14:52 | Tom987 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also falls a= 0 nur eine doppelte NST x1/2 = 0, keine weitere falls a >0 eine doppelte NST x1/2 = 0, keine weitere falls a < 0, eine doppelte NST x1/2 = 0 + 2 einfache NST |
||||||||
26.12.2010, 15:04 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
. geht doch und jetzt mach dir vielleicht für jeden Fall erstmal eine kleine Beispielzeichnung etwa eine mit a=2/3 und eine mit a= - 2/3 oder so dann siehst du exemplarisch, wie alle die entsprechenden Dinger sich bezüglich Monotonie und Krümmung jeweils verhalten werden. ok? |
||||||||
26.12.2010, 15:12 | Tom987 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
okay vielen Dank |
||||||||
27.12.2010, 16:07 | Tom987 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Krümmungsverhalten: h´´(x) = 2x^2 + 2a h´´(x) = 0 x1/2 = Wurzel aus -a Habe jetzt eine Linkskrümmung für alle a rausbekommen Montonie: 0 = x(2/3x^2 + 2a) x1 = 0 x 2/3 = Wurzel aus -3a falls a > 0 immer streng monoton steigend falls a < 0 ]-unendlich; 0] streng monoton steigend [0; Wurzel aus -3a] streng monoton fallend [Wurzel aus -3a; unendlich[ streng monton steigend stimmt das? |
||||||||
27.12.2010, 17:57 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
warum nimmst du meinen Vorschlag, jeweils ein Beispiel für a<0 und eines füer a>0 zu zeichnen, einfach nicht an? dann würdest du zB schon im Bild sehen, dass für a<0 die Kurve drei Extrema hat von links nach rechts gelesen siehst du dann: die Kurve fällt zuerst monoton bis zum ersten Minimum dann steigt sie bis zum Maximum , fällt dann wieder zum zweiten Minimum um zum Schluss von dort streng monoton zu steigen und diese Beobachtung kannst du dann rechnerisch bestätigen, indem du die Vorzeichen der ersten Ableitung in den betreffenden Intervallen untersuchst usw also bemühe dich mal ernsthaft: wie ist das mit der Monotonie auch dann zB wenn a>0 und welche Krümmung haben die Kurvenbögen, wann hat es Links- wann Rechtskurven..? . |
||||||||
27.12.2010, 19:22 | Tom987 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hab es gezeichnet. Und ich habe keine Ahnung was Extrema sind. h´´(x)=2x^2 + 2a Das ist doch eine Parabel die nach oben geöffnet ist, also dachte ich sie kann nur linksgekrümmt sein. Ich rechne jetzt erstmal Alles nochmal durch. |
||||||||
27.12.2010, 20:07 | Tom987 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Montonie: h´(x)= 2/3x^3+2ax a < 0 streng monoton fallend, streng monoton steigend, streng monoton fallend, streng monoton steigend a > 0 streng monoton fallend, streng monoton steigend Krümmungsverhalten: h´´(x)=2x^2+2a a>0 linksgekrümmt a < 0 linksgekrümmt, rechtsgekrümmt, linksgekrümmt Ich hoffe das stimmt jetzt |
||||||||
27.12.2010, 21:29 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
(relative) Extrema sind Hochpunkte (Maxima) oder Tiefpunkte (Minima) du findest sie meist dort, wo die erste Ableitung den Wert 0 hat.. ist eine Parabel vierten Grades sie ist symmetrisch zur y-Achse (warum?) für a<0 hat sie zwei Minima und ein Maximum ( .. wo?) deine summarische Aufzählung im letzten Beitrag (Monotonie/Krümmung) sieht im Prinzip nicht schlecht aus. . |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |
|