Konvergenz aus der Konvergenz von Teilfolgen beweisen

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Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz aus der Konvergenz von Teilfolgen beweisen
Meine Frage:
Es sei eine Folge in einem metrischen Raum derart, dass die Teilfogen , und konvergieren. Konvergiert dann selbst (Beweis oder Gegenbeispiel)?

Meine Ideen:
Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Folge selbst auch konvergiert, da sie am Ende ja unendlich oft ganz nahe auf die gleiche Zahl kommt. Bei den Teilfogen müsste das ja das gleiche sein. Ich weiß aber absolut nicht, wie ich das mathematisch aufschreiben soll. Vielleicht kann man das ja auch ganz anders beweisen. Könnte mir bitte jemand helfen? Ich wäre euch wirklich sehr dankbar.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
...dass die Teilfogen , konvergieren. Konvergiert dann selbst ?


Dazu findet man leicht ein Gegenbeispiel. Welche Rolle könnte also der Folge zukommen? Reicht das aus, um Konvergenz zu sichern?

Wichtige Frage:
Wo gegen konvergieren denn die Teilfolgen?
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Gegenbeispiel?
...also gibt es es tätsächlich ein Gegenbeispiel für diese Aufgabe? OK, das hätte ich nicht gedacht.

Naja, wenn ich es mir aufmale und dann überlege, dass ich ja jedes einzelne Glied mal drei nehmen müsste, um auf die eine Teilfolge zu kommen...
Die Teilfolgen sollen ja alle konvergieren. Es sagt ja aber keiner, dass sie den gleichen Grenzwert haben, was sie ja auch nicht haben können. Es streben also alle drei Teilfolgen gegen eine bestimmte Zahl. Ich sehe echt kein Beispiel, wo dann die Folge selbst nicht gegen eine bestimmte Zahl streben sollte.

Wenn du ein Gegenbeispiel gefunden hast, kannst du mir dann sagen, wo mein Denkfehler liegt. Vielleicht komme ich dann ja selbst drauf.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gegenbeispiel?
Zitat:
Original von Paradiesvogel
...also gibt es es tätsächlich ein Gegenbeispiel für diese Aufgabe? OK, das hätte ich nicht gedacht.


Ich bitte dich genau zu lesen, was ich geschrieben habe. Denn was du in dem Zitat schriebst, habe ich nicht gesagt.
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Achso...
Meinst du, dass man für die Folgen 2n und 2n+1 ein Gegenbeispiel konstruieren könnte, aber durch die 3n gibt es dann doch keines mehr? Ich hoffe, ich habe es jetzt richtig verstanden.

Wenn ich also eine Funktion suche, bei der die Teilfolge 2n und die Teilfolge 2n+1 konvergiert... Naja, im Prinzip muss ja nur 2n konvergieren, denn dann tut es 2n+1 auch.

Wie kann ich denn da ein Beispiel finden und reicht das aus? Wenn ich es an einem Beispiel gezeigt habe, muss es doch noch lange nicht für alles gelten.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Achso...
Du hörst mir irgendwie nicht richtig zu. traurig

Zunächst einmal, an welches triviale/klassische Beispiel denke ich, wenn ich gerade und ungerade Folgenglieder separieren will, so dass die gesamte Folge nicht konvergiert. [Das heißt nicht, dass dies hier ein Beispiel für deine Aufgabe ist. Es soll - wie ich eingangs schon sagte, die Rolle der dritten angegebenen konvergenten Folge erläutern].

Wenn wir uns fragen, ob die gesamte Folge konvergiert, brauchen wir ein Mittel um das nachzuweisen. Was weißt du über die Teilfolgen einer konvergenten Folge?

Bitte nur diese 2 Fragen beantworten. Dann geht es weiter.
 
 
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
?
Entschuldige, für die Aufgabe bin ich irgendwie zu blöde. Ich gebe doch mein bestes...

Wenn ich es richtig verstanden habe (was ich ganz doll hoffe), dann suchen wir eine Folge, bei der die geraden Zahlen gegen eine feste Zahl konvergieren und die ungerade gegen eine feste Zahl konvergieren, aber die Folge selbst nicht.
Ähm... Na da es eine Folge von natürlichen Zahlen ist... Sorry, ich weiß echt nicht, wie ich die von einander trennen soll. Man könnte alles durch zwei teilen und dann schauen, ob es noch eine nat. Zahl ist, aber das sieht man ja auch schon vorher... Ich weiß es nicht... traurig

Soweit ich weiß, müssen doch die Teilfolgen einer konvergenten Folge auch konvergieren oder?

Wie ist das eigentlich gemeint? Nehme ich jetzt für die Folge 2n immer zb das erste Folgenglied mal zwei und setze es an die erste Stelle meiner neuen Folge und nehme dann das zweite mal zwei und setze es an die zweite Stelle usw. oder nehme ich nur nur die geraden Folgenglieder? ...oder ist das das selber?
Oh man, ich bin völlig aus der Übung.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ?
Ist mir viel zu kompliziert. Ich möchte zwischen -1 und 1 hin und her hüpfen. Wie kann ich das anstellen? Ist aber nur ein Beispiel, damit du es dir was konkreter Vorstellen kannst, warum man hier noch die dritte Teilfolge angegeben hat.

Zitat:
Soweit ich weiß, müssen doch die Teilfolgen einer konvergenten Folge auch konvergieren oder?


zu ungenau. Aber es wird wärmer.
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
...
Naja, es gibt doch so eine Folge, die bei negativen Zahlen auf -1, bei positiven auf 1 und bei 0 auf Null abbildet. Mir fällt aber grade nicht mehr ein, wie die hieß. Kann es sein, dass du sowas in der Richtung meinst?

Ich habe aber leider keine Idee, wie ich das auf gerade und ungerade Folgenglieder anwenden soll.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Ich empfehle mal ein Analysis 1 Buch.

, ,

Sehr einfach, oder? Beide Teilfolgen konvergieren also. Genau wie du in

Zitat:
Soweit ich weiß, müssen doch die Teilfolgen einer konvergenten Folge auch konvergieren oder?


gesagt hast. Dennoch konvergiert die Gesamtfolge nicht. Wo ist also dein Formulierungsfehler/Ungenauigkeit?
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Ah!!
Stimmt, aber wenn 3n auch noch konvergieren soll, was es ja hier nicht tut, stimmt es nicht mehr. Interessant...

Naja, vielleicht muss man sagen, dass alle Teilfolgen konvergieren müssen, wenn die gesamte Folge konvergieren soll.

Wie kann mir das jetzt aber bei dem Beweis helfen? Ich wei0 dadurch jetzt, dass es Beispiele (min. 1) gibt, bei denen 2n und 2n+1 konvergieren können, aber die ganze Folge nicht zwangsläufig konvergieren muss, wenn nicht auch 3n konvergiert, aber wie kann ich damit einen Beweis führen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ah!!
Zitat:
Naja, vielleicht muss man sagen, dass alle Teilfolgen konvergieren müssen, wenn die gesamte Folge konvergieren soll.


Nein. Siehst du denn immer noch nicht, wo der Haken in deiner Wortwahl liegt? Schon in meinem ersten Beitrag habe ich dazu eine Frage gestellt:

Zitat:
Wo gegen konvergieren denn die Teilfolgen?


Also, was gilt nun für die Teilfolgen einer konvergenten Folge?

[edit: Ich mache Pause. Denke in Ruhe darüber nach. Bis später]
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert?
Sie müssen alle den gleichen Grenzwert haben?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert?
So ist es. Damit kannst du nun weiterarbeiten. Man wird versuchen, anzunehmen, dass es eine Teilfolge gibt, die einen anderen Grenzwert hat. Geht dies?
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Idee?
Du meinst also (denke ich), dass wir einen indirekten Beweis versuchen, in dem wir annehmen, dass es eine Teilfolge gibt, die einen anderen Grenzwert hat und das dann zum Widerspruch führen? Das klingt gut...

Eine Teilfolge von einer Folge müsste doch im Prinzip eine Folge von Gliedern meiner ganzen Folge sein. Die Teilfolgen sollen alle konvergieren. Vielleicht muss man dann irgendwie zeigen, dass sie keine Teilfolgen der ganzen Folge sind, wenn sie einen anderen Grenzwert haben, wie diese.

Das ist ja auch irgendwie logisch, weil wenn eine Teilfolge konvergiert hat sie diesen Grenzwert ja praktisch gesehen unendlich oft und irgendwann müssen ja auch die anderen Teilfolgen diesen Grenzwert unendlich oft annehmen. Das ist aber mit Sicherheit keine schlüssige mathematische Begründung.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Idee?
Du klammerst dich zu sehr daran, aus meinen Worten zu lesen, ob die gesamte Folge konvergiert oder nicht. Das werde ich dir aber nicht sagen.

Du musst mit

Gesamte Folge konvergiert gegen a* => Jede Teilfolge konvergiert gegen a*

arbeiten. Die Richtung "=>" ist natürlich nicht anwendbar, also brauchen wir die Kontraposition "<=". Wie lautet die sauber formuliert?
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
?
Wenn ich dich richtig verstanden habe, soll ich beweisen, dass wenn alle drei Teilfolgen gegen den gleichen Grenzwert konvergieren, dann auch die Gesamtfolge gegen diesen Grenzwert konvergiert.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ?
Du sollst darüber nachdenken, ob unter den Vorgaben die gesamte Folge konvergieren muss oder es ein Beispiel dafür gibt, dass sie nicht konvergiert.
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
...
...also: 2n bildet die Folge der gerade Teilfolgenglieder, 2n+1 die, der ungeraden und 3n nimmt sich von beiden noch ein bisschen was. 2n hat einen Grenzwert und 2n+1 hat einen Grenzwert. Das muss ja nicht zwingend der gleiche sein, aber 3n nimmt sich Folgenglieder aus beiden Teilfolgen hat und trotzdem einen Grenzwert, also hat auch die Folge insgesamt einen Grnezwert.
Kann ich das so sagen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Es fingt gut an. Aber verlabert sich zu sehr.

Die Teilfolgen , konvergieren nach Angabe. Nennen wir ihre Grenzwerte g und u, d.h.



Nehmen wir an, es gelte . Dann besitzt die Folge zwei konvergente Teilfolgen mit ..... . Dies steht ....... zu ....... . Die Annahme ist also ....... . Und es gilt ......
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh!!!
Das ist ja nicht sooo der große Unterschied zu dem, was ich geschrieben habe, aber es klingt definitiv besser.

Ich gebe also allen Grenzwerten Namen, sage dass die von 2n und 2n+1 evtl. nicht gleich sind, aber es ja Teilfolgen von 3n sind, würde die Folge 3n zwei Teilfolgen mit versch. Grenzwerten besitzen und das steht im Widerspruch dazu, dass die Teilfolgen einer Folge alle den gleichen Grenzwert haben. Die Annahme ist also falsch und somit gilt, dass alle drei Grenzwerte gleich sind und somit auch die ganze Folge konvergiert.

Stimmt das so?

Ist das, wenn ich das noch bissel ausschreibe mathematisch genug oder muss ich noch was hinzufügen?

Vielen vielen vielen Dank für deine Hilfe!!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ahh!!!
Nein, so ist das nicht korrekt. Du meinst das Richtige, aber bist viel zu ungenau. Die ersten Teilfolgen haben die Folgenglieder

2,4,6,8,10,...
1,3,5,7,9,....

Die dritte hat

3,6,9,...

Somit ist doch

Zitat:
aber es ja Teilfolgen von 3n sind


falsch. Die dritte Folge läßt sich disjunkt in 2 Teilfolgen zerlegen. Diese sind jeweils Teilfolgen der geraden und der ungeraden Teilfolge vom Anfang. Da die konvergent sind, kennen wir deren Grenzwerte. g und u. Wenn g und u verschieden sind, dann kann aber die dritte Teilfolge nicht konvergieren. Also gilt g=u.

Mit dieser neuen Erkenntnis muss man nun über die Konvergenz der Gesamtfolge urteilen. Gilt denn vielleicht

Jede Teilfolge konvergiert gegen a => die gesamte Folge konvergiert gegen a?
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
...
Oh, da habe ich da was falsch verstanden.

Stimmt es vielleicht so?:

Die Grenzwerte bekommen alle Namen und ich nehme an, dass die beiden von 2n und 2n+1 nicht gleich sind. Die dritte Folge lässt sich nun vollständig aus Teilen der ersten beiden konstruieren. Diese beiden sind konvergent und die Grenzwerte sind bekannt und unterschiedlich. Damit kann 3n aber nicht konvergieren, da sie ja zwei verschiedene Grenzwerte haben müsste.

Die Grenzwerte der Folgen 2n, 2n+1 und 3n müssen also gleich sein. Da damit alle Folgenglieder der Gesamtfolge abgedeckt sind (da sie ja aus nat. Zahlen besteht) und die Gesamtfolge muss den gleichen Grenzwert haben.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Zitat:
Stimmt es vielleicht so?:


Ich habe diesen Teil des Beweises doch im letzten Post ausgeführt....

Offen ist nur noch eine begründete Antwort auf die Frage: Gilt

Zitat:
Jede Teilfolge konvergiert gegen a => die gesamte Folge konvergiert gegen a?


http://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/l...ung/node61.html

Du musst auch mal in deine Unterlagen schauen, wie die Sätze bei euch heißen. Die Folgerung hier ist im Grunde nicht schwer. Würde die gesamte Folge nicht gegen g(=u) gehen, müßte man ja eine Teilfolge finden, die nicht gegen g geht. Dass es die nicht gibt, haben wir bereits gezeigt. [Denn jede Teilfolge läßt sich disjunkt in TF auf 2n und 2n+1 zerlegen]
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
...
Diesen Satz haben wir irgendwo in der Vorlesung mal bewiesen. Dann darf ich den verwenden, wenn ich ihn aufführe. Ich werde mal suchen.

Vielen vielen Dank für deine Hilfe!!

Muss ich da sonst noch was dazu schreiben?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
ich denke, wir sind durch.
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!
OK, dann nochmals vielen vielen Dank, dass du dir trotz Weihnachtszeit die Zeit für diese Aufgabe genommen hast!!
gnah Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Leute,

ich hab zur Zeit dieselbe Aufgabe zu erledigen, hab eure Schritte soweit eigentlich auch verstanden.

@Paradiesvogel: Wie schreibst du das genau auf? Lautet bei dir die Fragestellung auch

"Zeigen Sie, dass eine Folge... genau dann konvergiert, wenn die drei Teilfogen............. konvergieren."?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Frage mir "<=>" formuliert ist, so ist eine Richtung trivial. Die andere haben wir hier lang und breit diskutiert. Aufschreiben musst du das nun schon selber.Nur Mut.
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