Verflixte Matrix-Identität

21.11.2006, 08:21

phi

Verflixte Matrix-Identität

Moin, moin,

Bei einem Beweis (vom Wittschen Kürzungssatz) verstehe ich nur eine Umformung nicht, und zwar:

Wenn A, S quadratische Matrizen, lambda ein Skalar und u, v Vektoren sind (^T ist Transponierte) und man für eine Matrix Y einsetzt

$\begin{eqnarray*} Y:=\lambda u v^T \end{eqnarray*}$

in $\begin{eqnarray*} S^TAY= \lambda (S^TAu)v^T \end{eqnarray*}$ ,

und in

$\begin{eqnarray*} Y^TAS = (\lambda uv^T)^TAS \\ = \lambda (uv^T)^T(S^TA^T)^T = \\ = \lambda [(S^TA^T)(uv^T)]^T = \\ = \lambda ... \end{eqnarray*}$

ebenfalls Y einsetzt, bei beiden das Gleiche steht. Dann reduziert sich alles andere in dem Beweis wunderbar auf eine simple p-q-Formel. Laut F.Lorenz müsste dieser Schritt gehen.

Bis zu den ... hatte ich auch das Gefühl schon fast am Ziel zu sein. Es muss irgendwas mit

$\begin{eqnarray*} (AB)^T=B^TA^T \end{eqnarray*}$

zu tun haben.

mfg, phi

21.11.2006, 10:45

Mathespezialschüler

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Irgendwie hab ich deine Frage noch nicht so ganz verstanden. Verstehst du einen dieser Schritte nicht oder weißt du nicht, wie es weitergehen soll (wobei das ja im Buch stehen müsste)?

Gruß MSS

21.11.2006, 13:37

phi

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RE: Verflixte Matrix-Identität
Hallo Max,

Die Schritte hab ich probiert, die werden im Buch großzügig übersprungen.

Es geht darum das durch die Substitution

$\begin{eqnarray*} Y:=\lambda u v^T \end{eqnarray*}$

Die beiden Ausdrücke

$\begin{eqnarray*} S^TAY= \lambda (S^TAu)v^T \end{eqnarray*}$ ,

und

$\begin{eqnarray*} Y^TAS = (\lambda uv^T)^TAS \end{eqnarray*}$

zu $\begin{eqnarray*} 2 S^TAY= 2 \lambda (S^TAu)v^T \end{eqnarray*}$

zusammengefasst werden. M.a.W. das die beiden Produkte gleich sind.

Oder wenn wir die Substitution beiseite lassen frag ich mich ob im allgemeinen

$\begin{eqnarray*} S^TAY=Y^TAS \end{eqnarray*}$ ist, und wie man die ineinander umformt.

Mein Ansatz war durch doppeltes transponieren, die Reihenfolge zu ändern.

mfg, phi

Edit: Gleichheit gilt im allgemeinen nicht! (Gegenbeispiel) Es muss also am Transponierverhalten der Vektoren u und v liegen. Also doch mit Substitution.

21.11.2006, 14:07

Dlopoel

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$\begin{eqnarray*} u = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \ \ v = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \ \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \, , \ \ S = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \, , \ \ \lambda = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Y = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Y^T A S = \begin{pmatrix} 2 & -13 \\ -2 & 13 \end{pmatrix} \ \ \neq \ \ \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = S^T A Y \end{eqnarray*}$

Sind da in der Aufgabe nicht noch zusätzliche Anforderungen an die Matrizen gestellt? Zum Beispiel: symmetrische Matrizen oder ähnlich?

21.11.2006, 14:27

Mazze

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Die Antwort folgt im übrigen auf den Fuß wenn man weiß das Matrixprodukte i.A. nicht kommutativ sind. Das heißt damit die Identität gilt, muss wie hier schon oft ausgeführt etwas mehr Verlangt werden als nur einfache Matrizen.

Zitat:

und wie man die ineinander umformt.

Ohne Invertierbarkeit wird es sehr schwer die einzelnen Matrizen abhängig von einander zu betrachten. Eventuel könnte eine Transformation in JNF helfen, allerdings kann man dann nur mit den Trafo-matrizen rumspielen. Das geht aber dann auch nur für Qadratische S,Y. Für andere Fälle wird das kaum lösbar denk ich. Man könnte den ganzen Spaß natürlich in einen höherliegenden Koordinatenraum tragen. Wird aber auch sehr unübersichtlich.

21.11.2006, 14:35

phi

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Hallo, ..

Asche über mein Haupt: A ist Symmetrisch (DIAGONAL) vorausgesetzt !! (der Beweis für Wittschen Kürzungssatz ging über zwei Seiten...)

Y wie beschrieben, und S soll für symmetrisches (DIAGONALES) B die Bedingung

$\begin{eqnarray*} S^TAS + a_1vv^T = B \end{eqnarray*}$

erfüllen.

mfg

Edit: A und B zudem Diagonal, was sie in Produkten schon fast neutral macht

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