Aufgabe zur Injektivität/Surjektivität

26.12.2010, 23:35

VinSander82

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Aufgabe zur Injektivität/Surjektivität

Hallo, ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Ich schreib euch das mal komplett auf:

Seien $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^{2}\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} f((x,y)):=x-y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R ^{2}\rightarrow\mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} g((x,y)):=(x+y,x-y) \end{eqnarray*}$

a) Gesucht sind $\begin{eqnarray*} f^{-1}({1}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g^{-1}({(1,1)}) \end{eqnarray*}$

b) UNtersuche f und g auf Injektivität und Surjektivität

c) Gib wenn möglich f o f oder g o g an

26.12.2010, 23:56

Airblader

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Gemeint ist schon $\begin{eqnarray*} g\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , oder?

Was sind denn deine Ansätze bisher? Bei der a) musst du für f einfach nur schauen, für welche Paare (x,y) gilt: x-y=1.
Für g musst du bei der a) eben ein ähnliches Gleichungssystem lösen.

air

27.12.2010, 11:16

VinSander82

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stimmt für g: hab ich editiert...

ich habe noch keine ansätze weil ich nicht weiter weiss verwirrt

verwirrt

Das mit f:, verstehe ich aber wie kommt man darauf. das heisst für mich x = y +1,oder?

so dss immer 1 raus kommt

27.12.2010, 12:11

Math1986

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Zitat:

Original von VinSander82
stimmt für g: hab ich editiert...

ich habe noch keine ansätze weil ich nicht weiter weiss verwirrt

verwirrt

Das mit f:, verstehe ich aber wie kommt man darauf. das heisst für mich x = y +1,oder?

so dss immer 1 raus kommt

Die Definition des Urbildes solltest du dir nochmal anschauen, es ist im Prinzip nur Einsetzen und leichtes Umformen

27.12.2010, 13:54

VinSander82

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ich hab mir das angeschaut bei wikipedia, aber ich sehe keinen weg, wie ich das anfangen kann? unglücklich

unglücklich

27.12.2010, 14:04

Airblader

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Das Urbild ist die Menge aller Paare, die unter f auf '1' abgebildet werden. Stures Einsetzen liefert also $\begin{eqnarray*} f((x,y)) = x-y \stackrel{\text{!}}{=} 1 \end{eqnarray*}$ .

Du musst die Lösungen dieser Gleichung jetzt irgendwie sinnvoll darstellen. Dazu kannst du z.B. nach x auflösen, wie du es getan hast, und dies dann bei deinem Paar (x,y) einsetzen (das x ist dann ein Term, der nur noch von y abhängt). Wenn man das dann ein bisschen auseinanderzieht kommt man auf eine schöne Form für die Lösungen. Aber erstmal musst du damit anfangen.

air

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27.12.2010, 15:18

VinSander82

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dann ist $\begin{eqnarray*} f(y+1,y) \end{eqnarray*}$ , wenn man das umformt und für x einsetzt

oder?

27.12.2010, 15:33

Math1986

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Ja, das ist richtig Freude

Freude

analoges Vorgehen für Funktion g

27.12.2010, 16:02

Airblader

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Nein, ich widerspreche, denn

Zitat:

Original von VinSander82
dann ist $\begin{eqnarray*} f(y+1,y) \end{eqnarray*}$

kann nicht "sein", denn das ist ein Term und keine Aussage. Außerdem sollst du eine Menge angeben.

air

27.12.2010, 16:06

VinSander82

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hmm da wird's aber schwieroger verwirrt

verwirrt

da bekom ich einmal x = 1-y, x = 1+y

nur welches füge ich in die klammer?

27.12.2010, 16:09

VinSander82

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an air:

solltei ch das exrta evt. noch in klammernm setzen. hatte ich mir nämlich auch überlegt?

also $\begin{eqnarray*} f ((y+1),y) \end{eqnarray*}$

27.12.2010, 16:10

Airblader

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Du suchst Paare (x,y) bzw. die Menge aller Paare:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(1) = \{(x,y) ~|~ f((x,y)) = 1\} \end{eqnarray*}$

Du weißt nun, dass x=y+1 gilt, so ein Paar sieht also so aus: (x,y) = (y+1,y). Für y kann man aber alles einsetzen.
Und das schreibst du dann eben ganz korrekt als Menge auf:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(1) = \{(y+1,y) ~|~ y \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$

Im Übrigen - dieses Urbild verrät dir schon, ob f injektiv ist oder nicht. Aber das kommt später. Jetzt bestimme erstmal $\begin{eqnarray*} g^{-1}((1,1)) \end{eqnarray*}$ . Dazu musst du wie gesagt analog vorgehen, nur dass du eben zwei Gleichungen bekommst.

air

11.02.2011, 23:10

VinSander82

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hallo zusammen, ich bin wieder da

wollte da gern weiter machen, wo ich damalas aufgehört habe. aufgeschoben ist ja nicht aufgehoben nücht ? Wink

Wink

also zu $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$

14.02.2011, 11:59

VinSander82

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nagut, ich werde mit der aufgabe b) (siehe ganz oben ) weitermachen

ich untersuche f auf Injektivität, da kann ich doch ein gegenbeispiel nennen

z.B.

f ((3,3)) = 0
f ((4,4)) = 0

und somit schonmal nicht injektiv

auf Surjektivität:

habe ich die diee:

z = x-y und nach x auflösen

x = z+y, wenn ich jetzt 10 für x einsetzte als Beispiel , kann ich das Paar f ((x,0))

ist damit schhon die Surjektivität gezeigt?

14.02.2011, 14:54

VinSander82

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hmm ok , da jetzt keiner antwortet ... ich versuch's mal selbst.. vielleicht könntet ihr mir nur sagen , ob ich dsad richtig gemacht hab?

vielen dank

also zur Aufgabe. Gesucht ist $\begin{eqnarray*} g^{-1} ({(1,1)}) \end{eqnarray*}$

ich habe nundie Gleichungen: x+y = 1 $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ x- y = 1

ich kann entweder eines davon nach x auflösen oder beide Gleichungen addieren bekommen tue ich für x= 1 , dieses setz ich in einen der Gleichungen ein und erhalte y= 0

aber ich muss eigentlich $\begin{eqnarray*} g^{-1} ({(1,1)}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left\{ (1-y,y) | y \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

ist das richtig?

14.02.2011, 15:28

Math1986

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Zitat:

Original von VinSander82
ich kann entweder eines davon nach x auflösen oder beide Gleichungen addieren bekommen tue ich für x= 1 , dieses setz ich in einen der Gleichungen ein und erhalte y= 0

aber ich muss eigentlich $\begin{eqnarray*} g^{-1} ({(1,1)}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left\{ (1-y,y) | y \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Das ist so nicht richtig, Wähle $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ aus dieserMenge, dann ist $\begin{eqnarray*} g\left(\left(0,1\right)\right)=\left(1,-1\right)\neq \left(1,1\right) \end{eqnarray*}$

Der Ansatz ist richtig, aber du hast doch selbst gesagt und erhalte y= 0, wiso ist das y in deiner Lösung auf einmal beliebig?

y=0 ist schonmal richtig, nun musst du noch die x-Werte bestimmen

14.02.2011, 15:42

VinSander82

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Zitat:

Original von VinSander82
hmm ok , da jetzt keiner antwortet ... ich versuch's mal selbst.. vielleicht könntet ihr mir nur sagen , ob ich dsad richtig gemacht hab?

vielen dank

also zur Aufgabe. Gesucht ist $\begin{eqnarray*} g^{-1} ({(1,1)}) \end{eqnarray*}$

ich habe nundie Gleichungen: x+y = 1 $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ x- y = 1

ich kann entweder eines davon nach x auflösen oder beide Gleichungen addieren bekommen tue ich für x= 1 , dieses setz ich in einen der Gleichungen ein und erhalte y= 0

aber ich muss eigentlich $\begin{eqnarray*} g^{-1} ({(1,1)}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left\{ (1-y,y) | y \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

ist das richtig?

$\begin{eqnarray*} g^{-1} ({(1,1)}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left\{ (1,0) \right\} \end{eqnarray*}$ ???

14.02.2011, 15:45

Math1986

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Zitat:

Original von VinSander82
$\begin{eqnarray*} g^{-1} ({(1,1)}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left\{ (1,0) \right\} \end{eqnarray*}$ ???

Richtig

Freude

14.02.2011, 15:46

VinSander82

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gott sei dank, thx

14.02.2011, 15:55

Math1986

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Zitat:

Original von VinSander82
gott sei dank

Math1986 reicht als Anrede völlig aus Engel

Engel

14.02.2011, 15:59

VinSander82

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ha ha

Prost

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