Würfel-Koordinate (mit Rotation)

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Parallelepiped Auf diesen Beitrag antworten »
Würfel-Koordinate (mit Rotation)
Hi!

Ich habe mich bereits mit dem Thema auseinander gesetzt, bin aber auf keinen grünen Zweig gekommen, hier mein Problem:

Ich habe einen Würfel mit Mittelpunkt und möchte die Koordinaten der Eckpunkte bei gegebener Kantenlänge berechnen. Und jetzt wird es kompliziert: Auch wenn der Würfel um die x-, y- und z-Achse rotiert worden ist.
Im Zweidimensionalen lässt sich das ganze ja Relativ einfach über Trigonometrie ausrechnen, es muss ja auch nur eine Rotation berücksichtigt werden.

Also geg.:
-> Mittelpunkt des Würfels M(x,y,z)
-> Kantenlänge k
-> x-, y- und z-Rotation

ges.: Formeln für die Eckpunktkoordinaten (jeweils einzeln für x, y, z)

Ich schätze mal das wird eine Anreihung von sin- und cos-Funktionen, hab aber die richtige noch nicht gefunden.

Danke schon mal im voraus!
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfel-Koordinate (mit Rotation)
Hier wären einmal Deine bisherigen Überlegungen zusammen mit einer Skizze von Vorteil.

Mit dem Mittelpunkt und der Kantenlänge gibt es mal unendlich viele Möglichkeiten. Jetzt kommt es drauf an, was Du unter "x-, y- und z-Rotation" verstehst.

Einfacher geht das mit Vektorrechnung. Hier wären außer M und k noch zwei Vektoren nötig, die zwei Achsen des Würfels definieren, damit man alle Punkte bestimmen kann.
Weiters ist natürlich noch ein Punktbezeichnungsschema notwendig.
Parallelepiped Auf diesen Beitrag antworten »

Also hier wäre meine Lösung für ein Quadrat (2D), hier gibt es ja nur eine einzige Rotationsrichtung:

P1x = x + cos ( PHI/4 + r ) * sqrt ( k * k / 2 )
P1y = y + sin ( PHI/4 + r ) * sqrt ( k * k / 2 )

P2x = x + cos ( PHI/4*3 + r ) * sqrt ( k * k / 2 )
P2y = y + sin ( PHI/4*3 + r ) * sqrt ( k * k / 2 )

P3x = x + cos ( PHI/4*5 + r ) * sqrt ( k * k / 2 )
P3y = y + sin ( PHI/4*5 + r ) * sqrt ( k * k / 2 )

P4x = x + cos ( PHI/4*7 + r ) * sqrt ( k * k / 2 )
P4y = y + sin ( PHI/4*7 + r ) * sqrt ( k * k / 2 )

Bei Gegebenem Mittelpunkt M(x|y), Rotation r und Kantenlänge k bekomme ich über die Formeln die genauen Koordinaten der Eckpunkte. Ähnlich wird auch die Lösung fürs 3Dimensionale aussehen, nur etwas komplexer da ja mehr Punkte und mehr Rotationen, sowie eine Koordinate pro Punkt mehr berechnet werden muss, also 8 x 3 Formeln.

Mit den 3 Rotation meine ich die 3 möglichen Rotationsrichtungen, angenommen der Würfelmittelpunkt liegt genau im Ursprung, dann ist die x-Rotation die Rotation mit der x-Achse als Rotationsachse, die y-Rotation die Rotation mit der y-Achse als Rotationsachse usw.

EDIT:
Die phi-Brüche bezwecken nur dass die Punkte richtig in ihren Ecken sitzen, der Punkt P1 sitzt ja gegenüber dem Mittelpunkt um 45 Grad versetzt, also phi/4.

Wie wäre der Ansatz mit einer Vektorlösung? Wird aber doch auch kompliziert, wenn Rotationen berücksichtigt werden?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest auch einfach den Würfel der Kantenlänge mit den Ecken , jede Vorzeichenkombination ist zulässig, einer speziellen orthogonalen Transformation mit Streckung plus eventuell einer Verschiebung unterwerfen, also einer Abbildung



ist eine orthogonale Matrix mit positiver Determinante, zuständig für die Drehung, der Skalar besorgt die Streckung, also die Längenveränderung, und die Spalte verschiebt den Würfel im Raum. enthält die Koordinaten der Urbildpunkte in Spaltendarstellung.
Auf diese Weise bekommst du jeden denkbaren Würfel im Raum.

Ansonsten müßtest du dein Problem genauer schildern. Was ist gegeben? Was ist gesucht? Das ist noch reichlich unklar.
Parallelepiped Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ansonsten müßtest du dein Problem genauer schildern. Was ist gegeben? Was ist gesucht? Das ist noch reichlich unklar.


Was ist dir denn unklar?

Zitat:
Also geg.:
-> Mittelpunkt des Würfels M(x,y,z)
-> Kantenlänge k
-> x-, y- und z-Rotation

ges.: Formeln für die Eckpunktkoordinaten (jeweils einzeln für x, y, z)


durch Mittelpunkt, Kantenlänge und alle Rotationen ist ein Würfel doch eindeutig bestimmt ?! Der Mittelpunkt des Würfels ist natürlich trotz Rotation und Skalierung immer derselbe Mittelpunkt.


Zu deinem Vorschlag: Könntest du mir ein Rechenbeispiel geben, vllt. für einen Punkt?


Was ist mit meinem Lösungsansatz? Könnte den jemand von 2 auf 3 Dimensionen umsetzten?
Parallelepiped Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte gerne einzelne konkrete formeln für jede Koordinate jedes Eckpunktes.
Also für P1x, P1y, P1z, P2x, P2y, P2z, ... , P8x, P8y, P8z, insgesamt 24 Formeln, wobei mir natürlich die ersten 3 für den Punkt P1 genügen, den Rest find ich mir dann selbst Augenzwinkern

Das Ergebnis stell ich mir wie das meines 2D-Beispiels vor, natürlich analog in 3D.

Aber schon mal danke für euren Einsatz!
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Eine eigentliche orthogonale Matrix besteht aus drei Spalten von zueinander orthogonalen positiv orientierten Einheitsvektoren. Du kannst mit zwei Spalten von Einheitsvektoren beginnen und nimmst als dritte Spalte.

Ein Beispiel:



also



Wenn der Würfel die Kantenlänge 1 haben soll, wählen wir



und mit



bekommen wir den neuen Mittelpunkt. Jetzt wende die Abbildung



auf die acht Punkte an (als Spalte einsetzen). So bekommst du die acht Ecken eines Einheitswürfels.

Und indem du variierst, erhältst du sämliche Würfel im Raum.
Parallelepiped Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ich probier es gerade aus. Aber gibt es keine Trigonometrische Lösung dafür?
Parallelepiped Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt häng ich aber wieder an dem Einheitsvektor: Ich muss ja meine Rotationen (in Grad oder phi) in den Vektor einbringen, und das funktioniert ja ausschließlich über Trigonometrie (so weit ich das kann).

Also brauch ich wieder die allgemeine Form inkl. eines Einheitsvektors der mir meine Rotationen in Grad oder phi abnimmt. Und auseinander gezogen hat man ja dann wieder eine Formel wie ich sie oben vorgeschlagen habe oder?
Parallelepiped Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich würde mir eine Formel für die Koordinaten eines Punktes auf einer Kugeloberfläche auch genügen, die Position des Punktes sollte hierbei wieder eindeutig durch Kugelmittelpunkt, Rotationen und Radius (r) definiert sein.

Also im Zweidimensionalen:

Px = x + cos ( rot ) * r
Py = y + sin ( rot ) * r

Dieses Beispiel suche ich jetzt fürs Dreidimensionale.
Aber nochmals Danke für das Engagement!
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