Ist (Q,+,*) ein Körper?

27.12.2010, 12:03	Ionel	Auf diesen Beitrag antworten »
*Ist (Q,+,) ein Körper?** Hallo, ich weiß nicht wie ich zeigen kann, das (Q,+,) ein Körper ist, wobei (Q,+,) wie folgt definiert ist: für alle a Element Q existieren $\begin{eqnarray} p_{a} \in Z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q_{a} \in N \end{eqnarray}$ mit a= $\begin{eqnarray} p_{a} \end{eqnarray}$ / $\begin{eqnarray} q_{a} \end{eqnarray}$ . Die Operatoren sind für a,b $\begin{eqnarray} \in Q \end{eqnarray}$ wie folgt definiert: a+b --> $\begin{eqnarray} \frac{p_{a}q_{b}+q_{a}p_{b}}{q_{a}q_{b}} \end{eqnarray}$ ab --> $\begin{eqnarray} \frac{p_{a}p_{b}}{q_{a}q_{b}} \end{eqnarray}$ Wie kann ich nun zeigen das (Q,+,*) ein Körper ist? ich danke schonmal im Vorraus
27.12.2010, 12:08	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Ist (Q,+,) ein Körper?** Du musst einfach die Körperaxiome überprüfen, Nullteilerfreier kommutativer Ring mit 1. Fang doch mal mit der Abgeschlossenheit bezüglich der Verknüpfungen an.
27.12.2010, 12:09	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst nunmal alle Axiome nachprüfen. Zunächst einmal müsstest du jedoch noch die Wohldefiniertheit der beiden Operationen zeigen, d.h. dass das Ergebnis unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist.
29.12.2010, 11:24	Ionel	Auf diesen Beitrag antworten »
gut, ich danke euch auf jeden fall bis hierher schonmal. ich habe jz bei google nach den Körperaxiomen gesucht und auf der seite http://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_%28Algebra%29 etwas gefunden. Jetzt weiß ich aber nicht was ich damit anfangen soll. Klar ich habe mir die einzelnen Axiome angesehen und durchdacht. Sie treffen alle zu, damit ist (Q,+,*) ein Körper. Doch wie soll ich das jz beweisen? ICh würde jetzt höchstens die einzelnen Axiome abpinseln, aber das ist ja nicht sinn der sache und ich glaube nicht das das ausreicht. Oder doch? Steh jetzt wieder ein bisschen auf dem schlauch.. danke schonmal =)
29.12.2010, 11:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind hier die rationalen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb Q=\frac {\mathbb Z}{\mathbb N} \end{eqnarray}$ gemeint ? Wenn ja, dann musst du jedes einzelne Körperaxiom beweisen. Du darfst Rechenregeln in natürlichen und ganzen Zahlen voraussetzen. Beipiel : Existenz des neutralen Elements der Addition. Behauptung : $\begin{eqnarray} \frac 0 1 \end{eqnarray}$ ist das neutrale Element der Addition Beweis : $\begin{eqnarray} \frac {p_a} {q_b} + \frac 0 1 =\frac {p_a\cdot 1+q_b\cdot 0}{q_b\cdot 1} =\frac {p_a} {q_b} \end{eqnarray}$ q.e.d.

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