Polynomraum

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Medwed Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomraum
Hallo,

meine Frage lautet, wie ich auf die Basis/Basen eines Polynomraumes komme?

Beispiel:

Ich habe einen Polynomraum , also



Ich weiß, dass ich für a eine beliebige reelle Zahl einsetzen kann und dadurch EIN Polynom oder besser EINEN Vektor des Vektorraums erhalte.

Jetzt setze ich für a alle Zahlen der reellen Zahlen ein und erhalte alle Vektoren des Vektorraumes.

----------------------------------------

Jetzt möchte ich die Basis/Basen des Vektorraumes bestimmen.

Also ich weiß, Satz: Die Dimension der Basis ist, um 1 größer als der Grad des Polynoms.
(In diesem Beispiel also 4)

Außerdem weiß ich, dass sich jeder Vektor im Vektorraum durch die Basis erzeugen lässt.


Das ist eine Basis des Polynomraums

B = { 1, 1 - x, (1 - x)2, (1 - x)3) }, dim B = 4

Aber wie verfährt man, um diese Basis zu erhalten?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomraum
Zitat:
Original von Medwed



Das ist eine Basis des Polynomraums

B = { 1, 1 − x, (1 − x)2, (1 − x)3) }, dim B = 4


Was soll das bedeuten?

Du kannst entweder ausnutzen, dass zwei Vektorräume der gleichen Dimension über dem gleichen Körper isomorph zueinander sind, also die Isomorphie des Vektorraums der Polynome vom Grad kleiner/gleich drei über den reellen Zahlen zum ausnutzen oder direkt eine (Einheits-) Basis durch die offenkundig linear unabhängigen Menge der Polynome bestimmen.

Du kannst, um eine Basis zu erhalten genau so vorgehen, wie bei anderen Vektorräumen auch, ein Element nehmen, ein weiteres dazu linear unabhängiges bestimmen usw.
Medwed Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Du kannst, um eine Basis zu erhalten genau so vorgehen, wie bei anderen Vektorräumen auch, ein Element nehmen, ein weiteres dazu linear unabhängiges bestimmen usw.


Ich nehme mal aufjedenfall diesen Weg ^^


In Ordnung, also ich nehme einen Vektor des Vektorraumes, z.B.



Die Definition von linear unabhängig ist:

Wenn ich nur durch diese Wahl der Koeffizienten

auf "0" bei der Linearkombination komme.

Dann sind die Vektoren p linear unabhängig.

Wie bestimme ich jetzt hier ein linear unabhängigen Vektor, ich verstehe das nicht mit dem Polynomfunktionen.

Also ich kann für schreiben.
Dann steht da


Ich muss jetzt ein entsprechendes finden, dass ich die beiden k = 0 wählen muss, sodass das Resultat 0 ist.

Wie finde ich dieses ?

EDIT:

Ich habe glaub eine Idee,
einfach LGS aufstellen, Matrixschreibweise und schauen das jede Spalte nur einen Eintrag ungleich 0 hat und die restlichen Spalteneinträge gleich 0 sind, oder?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst das unter Zuhilfenahme von Matrizen machen, ja, das stimmt.

Wir nehmen einfach mal dein Polynom:



Dann nutzen wir die oben angesprochene Isomorphie.
Wir betrachten dieses Polynom nun als Vektor im , das entspricht dann dem Vektor .

Nun gilt es, einen dazu unabhängigen Vektor zu finden, man könnte zum Beispiel den Vektor nehmen, dieser entspricht dem Polynom .

Die beiden Vektoren sind linear unabhängig, die beiden Polynome sind es auch.
Medwed Auf diesen Beitrag antworten »

Okay also wir haben bereits 2 Vektoren der Basis, wir brauchen noch 2, z.B.

entspricht Polynom

entspricht Polynom

Also ich habe jetzt 4 linear unabhängige Vektoren und somit eine Basis von meinem Polynomraum

Man kann diese jetzt noch kürzer darstellen, indem man eine Matrix aufstellt und so umformt, wie ich geschrieben habe. Sodass jede Spalte nur einen Eintrag ungleich 0 hat und die restlichen Spalteneinträge gleich 0 sind.

---------------------------

Eine Frage noch, wie komme ich auf diese Basis?

B = { 1, 1 - x, (1 - x)2, (1 - x)3) }

Was muss ich da beachten, um auf diese elegante Basis komme?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Medwed


Man kann diese jetzt noch kürzer darstellen, indem man eine Matrix aufstellt und so umformt, wie ich geschrieben habe. Sodass jede Spalte nur einen Eintrag ungleich 0 hat und die restlichen Spalteneinträge gleich 0 sind.


Dazu kannst du dir mal meinen ersten Beitrag anschauen.

Zitat:
Original von Medwed
Eine Frage noch, wie komme ich auf diese Basis?

B = { 1, 1 - x, (1 - x)2, (1 - x)3) }

Was muss ich da beachten, um auf diese elegante Basis komme?


Polynome sind genau dann linear unabhängig wenn alle einen unterschiedlichen Grad haben.
 
 
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu


Polynome sind genau dann linear unabhängig wenn alle einen unterschiedlichen Grad haben.



Tut mir leid, wenn ich hier kurz eingreife, aber das stimmt einfach nicht.

Beispielsweise bilden die Polynome mit paarweise verschiedenen eine Basis des VR aller Polynome vom Grade kleiner gleich 2 und sind dementsprechend linear unabhängig, obwohl alle den gleichen Grad haben.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

jap, stimmt, etwas voreilig gewesen, "genau dann wenn" ist hier falsch, aber Poylnome, die sich in ihrem Grad unterscheiden sind linear unabhängig.
Medwed Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich frage mich noch immer, wie ich auf diese Basis kommen soll?


Also ich habe die Basis



Dann kann ich die Elemente der Basismenge in Vektorschreibweise darstellen.


Dann kann ich das wieder in eine Matrix schreiben und so umformen, wie ich bereits geschrieben habe,

Zitat:
Man kann diese jetzt noch kürzer darstellen, indem man eine Matrix aufstellt und so umformt, wie ich geschrieben habe. Sodass jede Spalte nur einen Eintrag ungleich 0 hat und die restlichen Spalteneinträge gleich 0 sind.



Dann müsste ich auf diese Menge kommen, die du im ersten Post geschrieben hast

->


Von der Basis, wo ich die ganze Zeit rede, ist nur eine Basis von Vielen. Aber was ist das besondere an ihr, weil ich die jedesmal antreffe beim googeln.
Was ist so besonders daran?

Muss man diese Basis, wenn man von Polynomräumen redet, einfach kennen (auswendig, wie z.B. in anderen Themen einfach die Definition des Kreuzprodukts, Skalarprodukts etc.)?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Isomorphie zum ausnutzt lass die Potenzen von x im Vektor weg, du schreibst einen Vektor im ja auch nicht als .

Es gibt, wie du schon gesagt hast, etliche Basen. Ich frage mich, warum du ausgerechnet die Basis betrachten willst.

Mit dem Austauschsatz von Steinitz kann man eh einen beliebigen Basiswechsel durchführen.

Eine besondere Basis ist das nicht, die einzige, die meines erachtens wirklich besonders ist ist die kanonsche Basis.

Warum du so häufig auf sie triffst kann ich dir auch nicht sagen.
Medwed Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, Dankeschön!

Ich habe es jetzt verstanden!
Die Darstellungsform eines Polynoms als Vektor war der der springende Punkt für mein Verständnis.

Merci smile
Medwed Auf diesen Beitrag antworten »

Ui, ich habe noch eine Frage.

Ich habe den Polynomraum und die Basis .

Ich kann also jedes Basiselement als Vektor schreiben.




Ich kann die 4 Polynome auch in einer Gleichung darstellen.





Die 4 Polynome sind nur linear unabhängig, wenn ich nur bei dieser Wahl auf den Nullvektor abbilde.

------------------------------------------------------------------------------------

Was ist aber, wenn ich das so schreibe?





Wenn ich jetzt folgendes einsetze:



Dann sind nicht alle Koeffizienten gleich 0 und die Definition der linearen Unabhängigkeit ist nicht erfüllt.

---------------------------

Das gleiche in Vektorschreibweise.



weil es dann folgendermaßen aussieht





--------------------------

Also ihr seht das Problem mit dem Skalar.
Was ist da falsch?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Medwed,

Ein Vektorraum ist über einem Körper K definiert (z.B. den reellen Zahlen). Das heisst, man darf nur Skalare aus diesem Körper nehmen.

x ist nun aber keine reelle Zahl, also darfst du nicht setzen.

Du hast aber recht, dass man - bevor man die Darstellung von Polynomen in der Basis benutzt - erstmal zeigen sollte, dass das in der Tat eine Basis ist! geschockt


So wie ich das oben gelesen habe, hat Igrizu diesen Fakt implizit angenommen, indem er dir vorgeschlagen hat, die Polynome als Spaltenvektoren zu schreiben. Denn dort hat man ja die Entsprechung



und diese macht nur Sinn, wenn man schon weiss, dass es für die rechte Seite keine zweite Darstellung als Linearkombination von gibt, d.h. wenn die Vektoren linear unabhängig sind.
Medwed Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

Zitat:
Ein Vektorraum ist über einem Körper K definiert (z.B. den reellen Zahlen). Das heisst, man darf nur Skalare aus diesem Körper nehmen.

x ist nun aber keine reelle Zahl, also darfst du nicht setzen.


x ist doch, .

Ich setze also für x alle Zahlen von in die Basisvektoren/Basispolynome ein.

Und ich multipliziere dieses Polynom z.B. mit allen Skalaren aus einem Körper K.
Dann werde ich doch irgendwann zwangsläufig diese Kombination haben.
D.h. das das Skalar aus dem Körper k gleich der Zahl x aus den Reellen Zahlen ist.

Und dann habe ich eine Kombination, wo die Definiton der linearen Unabhängigkeit verletzt ist.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, x ist kein Skalar aus dem Körper, x ist ein Element aus dem Vektorraum der Polynome, du multiplizierst also ein Polynom mit einem Polynom und nicht mit einem Skalar.

Mit der gleichen Begründung könnte man das LGS auf folgende Weise lösen, wir setzen .

Du solltest dir die Begriffe Vektorraum und Skalar noch einmal anschauen und verinnerlichen.
Medwed Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, nachdem ich eine Nacht darüber geschlafen habe, wird es klarer.

Also wir nutzen die Isomorphie.
Dann betrachten wir das Polynom als Vektor.
Dann bilden wir linear unabhhängige Vektoren.

Mit dieser Schreibweise (Pfeil über x, Vektorschreibweise) wird es klarer.

Durch diese Schreibweise dürfte mir dieser Fehler nicht unterlaufen.

Außerdem ist klar, dass wenn ich einen Vektor mit einem Skalar mulitpliziere, dann können sich die Vektoreinträge nicht verschieben.
Und bei meinem Beispiel haben sich die Vektoreinträge verschoben.

----------------------------------------------------------

Noch eine letzte Frage,
um eine Basis zu bestimmen haben wir die Isomorphie ausgenutzt, welche Möglichkeiten gibt es eigentlich noch?

Ihr braucht es nicht ausführlich machen, nur stichwortartig, kurze Erklärung der Idee etc.


VIELEN DANK!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich schon geschrieben, Polynome unterschiedlicher Grade sind linear unabhängig, du kannst also in dem Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner/gleich drei einfach 4 Polynome bestimmen, die einen unterschiedlichen Grad haben.
Medwed Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

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