maximaler Flächeninhalt

27.12.2010, 13:54

hanz198885

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maximaler Flächeninhalt

Hallo, ich habe eine Aufgabe wo ich bis jetzt noch nicht weiß was ich damit machen soll bzw. wie ich damit anfangen soll.

Aufgabe: Welche Länge hat die Grundlinie eines Dreiecks von maximalem Flächeninhalt, wenn s die Summer aus Grundlinie und zugehöriger Höhe ist?

ist bestimmt gar nicht so schwer, aber wenn mir einer einen anfangstipp geben könnte, dann schaffe ich den rest vielleicht auch alleine.

danke

27.12.2010, 13:55

Math1986

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RE: maximaler Flächeninhalt

Zitat:

Original von hanz198885
Aufgabe: Welche Länge hat die Grundlinie eines Dreiecks von maximalem Flächeninhalt, wenn s die Summer aus Grundlinie und zugehöriger Höhe ist?

Fang mal damit an, eine Gleichung für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von Grundlinie und Höhe aufzustellen.

Dann kannst du die Nebenbedingung da einsetzen

27.12.2010, 14:15

hanz198885

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RE: maximaler Flächeninhalt
okay, Flächeninhalt eines bliebigen dreiecks ist:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2}*g*h_{g} \end{eqnarray*}$

die nebenbedingung:

$\begin{eqnarray*} s= g + h_{g} \end{eqnarray*}$

so, aber wie und wo und was muss ich jetzt einsetzen?

27.12.2010, 14:16

Gast11022013

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RE: maximaler Flächeninhalt
Die letzte Formel umformen und dann einsetzen.

27.12.2010, 14:27

hanz198885

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RE: maximaler Flächeninhalt
$\begin{eqnarray*} s= g + h_{g} \end{eqnarray*}$ umgeformt nach h

$\begin{eqnarray*} h_{g} = s - g \end{eqnarray*}$

eingesetzt in die Formel des Flächeninhalts

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2}*g*(s - g) \end{eqnarray*}$

klammer aufgelösst ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*g*s - \frac{1}{2}*g^2 \end{eqnarray*}$

27.12.2010, 14:28

Gast11022013

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RE: maximaler Flächeninhalt
Ja, damit ist eine Variable eliminiert und die zu bestimmende Variable noch übrig.

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27.12.2010, 14:35

hanz198885

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RE: maximaler Flächeninhalt
das ist doch ein Extremwertprobleme, dort muss man doch die 1. ableitung bilden oder?

oder stehe ich total aufem schlauch, weil ich weiß jetzt ermal gar nicht wo das hin führen soll!!

27.12.2010, 14:36

Gast11022013

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RE: maximaler Flächeninhalt
Ja, richtig, das ist eine Extremwertaufgabe und Du musst mit Ableitungen arbeiten.

27.12.2010, 14:42

hanz198885

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RE: maximaler Flächeninhalt
gut, also dann die 1. ableitung von

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2}*g*s - \frac{1}{2}*g^2 \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{g \to \infty }\frac{1}{2}*g*s - \frac{1}{2}*g^2=\frac{1}{2}*s - g \end{eqnarray*}$

27.12.2010, 15:10

sulo

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RE: maximaler Flächeninhalt
1. Ich sehe da immer noch 2 Variablen.

2. Was ist eigentlich s? Wo finde ich s im Dreieck? verwirrt

verwirrt

27.12.2010, 15:11

klarsoweit

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RE: maximaler Flächeninhalt

Zitat:

Original von hanz198885
$\begin{eqnarray*} \lim_{g \to \infty }\frac{1}{2}*g*s - \frac{1}{2}*g^2=\frac{1}{2}*s - g \end{eqnarray*}$

Hää? Was soll denn das sein? verwirrt

verwirrt

Das einzige, was daran stimmt, ist, daß $\begin{eqnarray*} A'(g) = \frac{1}{2}*s - g \end{eqnarray*}$ ist.

@sulo: s scheint die konstante Summe aus Grundseite und Höhe zu sein.

28.12.2010, 10:19

hanz198885

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RE: maximaler Flächeninhalt
ja, ich habe da etwas durcheinander gebracht mit grenzwertberechnung und ableitung Hammer

Hammer

die ableitung müsste dann so sein

$\begin{eqnarray*} A'(g) = \frac{1}{2}*s - g \end{eqnarray*}$

aber jetzt weiß ich auch nicht weiter.

wie komme ich den jetzt auf die länge der grundlinie?

28.12.2010, 10:27

klarsoweit

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RE: maximaler Flächeninhalt
Warum bildest du denn die Ableitung? Was ist die Bedingung für das Vorliegen eines Extrempunkts?

29.12.2010, 15:31

beobachter2010

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bedingung für eine extremstelle ist, dass die erste der ableitung der funktion an dieser stelle gleich 0 ist

da ich nicht te bin, würde mich jetzt aber dennoch interessieren ob die aufgabe alleine mit dieser einen nebenbedinung (s=g+h) klar lösbar ist?

29.12.2010, 16:35

hanz198885

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das würde mich auch inressieren smile

smile

ich wüsste nicht wie verwirrt

verwirrt

29.12.2010, 19:04

Math1986

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Zitat:

Original von beobachter2010
bedingung für eine extremstelle ist, dass die erste der ableitung der funktion an dieser stelle gleich 0 ist

da ich nicht te bin, würde mich jetzt aber dennoch interessieren ob die aufgabe alleine mit dieser einen nebenbedinung (s=g+h) klar lösbar ist?

Ich verstehe die Aufgabe nicht

30.12.2010, 08:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von beobachter2010
da ich nicht te bin, würde mich jetzt aber dennoch interessieren ob die aufgabe alleine mit dieser einen nebenbedinung (s=g+h) klar lösbar ist?

Ja, das ist sie. Und ich verstehe nicht, warum man sich mit dieser Aufgabe ewig lang aufhält.

30.12.2010, 11:21

beobachter2010

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okay, wenn das so funktioniert.

$\begin{eqnarray*} h=s-g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2} * g * h \end{eqnarray*}$ eingesetzt, macht
$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}*g*(s-g) = <br /> A=\frac{1}{2}sg-\frac{1}{2}g^{2} \end{eqnarray*}$
wenn das schon die Zielfunktion ist, nach g ableiten
macht dann:
$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}s-g \end{eqnarray*}$
Null gesetzt und nach g aufgelöst
$\begin{eqnarray*} A'=0 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} g=\frac{1}{2}s \end{eqnarray*}$

das heisst, wenn g die halbe Länge von s ist, hat das Dreieck den maximalen Flächeninhalt?
ist das so korrekt?

30.12.2010, 11:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von beobachter2010
wenn das schon die Zielfunktion ist, nach g ableiten
macht dann:
$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}s-g \end{eqnarray*}$
Null gesetzt und nach g aufgelöst

Hier muß es $\begin{eqnarray*} A'(g) = \frac{1}{2}s-g \end{eqnarray*}$ heißen.

Nur schade, daß du nicht der Threadersteller bist.

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