Konvergenz einer Folge im metrischen Raum beweisen - Seite 2

27.12.2010, 17:46

BanachraumK_5

Nene sry ich muss jetzt mal meine Sachen weiterlernen hänge gerade an einem ganz abstrakten Paper und verstehe nada.

Naja da wünscht man sich die Cauchyfolgen aus dem 2.Semester wiederzurück.

@Paradiesvogel: Ich hoffe du hast verstanden. Schreib doch einfach nochmal alles sauber hin und rechne es nach. (Mach dir die Dreiecksungleichung klar!)

http://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung

27.12.2010, 17:49

Paradiesvogel

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Achso!
So langsam wird klarer, wovon ihr hier redet.

OK, es wurde jeder einzelne Term genommen und darauf die Funktion angewendet. Klar, dann ist es freilich kleiner. (Danke!!)
Damit wäre jetzt zumindest die Abschätzung klar.
Dann habe ich ja am Ende im Prinzip gaaaaaanz wenig dastehen, denn da steht ja dann vor jedem $\begin{eqnarray*} K \cdot K \cdot K \cdot K \cdot K \cdot K \cdot ... \end{eqnarray*}$ und das soll gegen 0 gehen, oder?
Naja, das geht schon gegen 0, aber habe ich damit die Konvergenz gezeigt? Damit habe ich doch eigentlich nur gezeigt, dass der Abstand zwischen den einzelnen Gliedern ganz klein wird, aber noch keinen Grenzwert gezeigt. Was muss ich denn nun noch zeigen?

27.12.2010, 17:53

Gast11022013

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RE: Achso!
Ja, das strebt gegen 0.

Du musst keinen Grenzwert zeigen, denn mit dem, was jetzt gezeigt ist, ist klar: Es handelt sich um eine Cauchyfolge.

Da hier nach Voraussetzung Vollständigkeit vorliegt, konvergiert diese Cauchyfolge.
Also ist die Konvergenz der Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ gezeigt.

27.12.2010, 17:56

Paradiesvogel

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Fertig?
Boah klasse!! Dankeschön für eure Hilfe!! Vielen vielen vielen Dank!!

27.12.2010, 17:56

BanachraumK_5

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Ja also schätz es doch mal selbst ab! Versuchs!

Und dann mach dir mal klar warum es in diesem Fall genügt zu zeigen, dass es eine Cauchyfolge ist.

Hättest du meinen Beitrag weiter oben gelesen wüsstest du es?!

Und mach die Abschätzung bitte genau, beachte, dass dieses K nur für n,m größer gleich 2 existiert und auch verschieden ist. Insbesondere wenn du m=3 hast findest du für m-2=1 ein solches K nicht mehr.

27.12.2010, 17:57

Gast11022013

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RE: Fertig?
Gerne Wink

27.12.2010, 18:12

Paradiesvogel

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Danke!
OK, das Aufschreiben schaffe ich jetzt alleinee.

Es genügt zu zeigen, dass es eine Cauchy-Folge ist, weil wir in einem metrischen Raum sind. Ja, vielleicht habe ich manches nicht gleich verstanden, wie du es geschrieben hast. Trotzdem vielen Dank nochmal!!

27.12.2010, 18:35

Gast11022013

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RE: Danke!

Zitat:

Original von Paradiesvogel
OK, das Aufschreiben schaffe ich jetzt alleinee.

Es genügt zu zeigen, dass es eine Cauchy-Folge ist, weil wir in einem metrischen Raum sind.

Es genügt zu zeigen, dass es eine Cauchyfolge ist, weil wir in einem vollständigen metrischen Raum sind. Wäre er nicht vollständig, würde nicht die Konvergenz folgen, die zu zeigen ist für die Folge.

27.12.2010, 19:15

BanachraumK_5

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Also bitte löse die Aufgabe erstmal sauber, denn hier ists egal.

Da du in Analysis I immer nur Folgen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ betrachtet hast, denkst du das wäre immer so, denn in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist jede Cauchyfolge auch eine konvergente Folge.

Es gibt aber auch Räume in denen das nicht mehr so ist. Mal ein schönes Beispiel aus der Literatur:

Der Raum $\begin{eqnarray*} C[0,2] \end{eqnarray*}$ , also der Raum aller stetigen Funktionen die vom Intervall nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ abbilden. Versieht man diesen mit der Norm $\begin{eqnarray*} \Vert f \Vert := \int_{0}^2 \vert f(x) \vert dx \end{eqnarray*}$ , dann ist die Funktion

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\begin{cases} x^n, & \text{wenn }0\le x\le1 \\ 1, & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

eine Folge in $\begin{eqnarray*} C[0,2] \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C[0,2] \end{eqnarray*}$ .

Wie man durch einfaches Einsetzen sieht gilt in der Norm
$\begin{eqnarray*} \Vert f_n - f_m \Vert = \int_0^1 x^m - x^n dx \le \frac{1}{m+1} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ . D.h. die Folge der Funktionen ist eine Cauchyfolge. Aber $\begin{eqnarray*} \Vert f_n - f \Vert \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ , wobei

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} 0, & \text{wenn }0\le x<1 \\ 1, & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ und man sieht leicht, dass f nicht stetig ist, also nicht mehr im Raum $\begin{eqnarray*} C[0,2] \end{eqnarray*}$ liegt. D.h. wir haben eine nichtkonvergente Cauchyfolge!!

Also sie konvergiert nicht im Raum $\begin{eqnarray*} C[0,2] \end{eqnarray*}$ .
Mach dir das mal klar, dann hast du einiges mehr verstanden!!

Beste Grüße Banachraum.

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