Konvergenz einer Folge im metrischen Raum beweisen

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Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Folge im metrischen Raum beweisen
Meine Frage:
Es sei ein vollständiger metrischer Raum und eine Folge in mit der Eigenschaft, dass für ein gilt:
.
Zeigen Sie, dass konvergiert.

Meine Ideen:
Ich habe versucht, mit dem Kriterium für den Grenzwert ranzugehen, aber da kommt man nicht wirklich weit.
K dürfte ja irgendwo zwischen 0 und 1 liegen und diese Regel gilt ab dem zweiten Folgenglied. Das hilft mir aber alles nicht weiter. Hat hier jemand vielleicht eine Idee? Ich wäre euch sehr dankbar.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige, dass es eine Cauchy-Folge ist, das reicht da du ja die Vollständigkeit vorgegeben hast.

Du kannst dabei für mit der Dreiecksungleichung so abschätzen:

 
 
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Folge!
Heißt aber Cauchy-Folge nicht, dass die Folge konvergiert? Das soll ich doch zeigen, oder? Wie beweise ich denn, dass es eine Cauchy-Folge ist?

Woher weiß ich, dass ich das so abschätzen kann?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Cauchy-Folge heißt, dass die Folge konvergiert. Genau deswegen sollst du das ja zeigen.

Warum du so abschätzen darfst, habe ich doch auch schon geschrieben.

Die Frage ist jetzt eher, wie du weitermachen könntest. Aber dazu ist dir ja in der Aufgabenstellung etwas gegeben.
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz zeigen!
Ich weiß, dass ab dem zweiten Folgenglied diese Regel von oben gilt. Was die mir nun aber sagen soll, weiß ich auch noch nicht. Ich habe mal überlegt, ob ich mir daraus herleiten kann, dass der Abstand zwischen den Folgengliedern größer oder kleiner wird, aber das K ist ja gar nicht explizit gegeben und ich sehe noch absolut gar nicht, wie mir das helfen soll.

Ich kann mithilfe der Dreiecksungleichung sagen, dass der Umweg über alle Punkte in dieser Folge länger ist, als der direkt Weg zum nächsten Punkt, aber wie kann ich damit zeigen, dass die Folge konvergiert?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz zeigen!
Zitat:
Original von Paradiesvogel
Ich habe mal überlegt, ob ich mir daraus herleiten kann, dass der Abstand zwischen den Folgengliedern größer oder kleiner wird, aber das K ist ja gar nicht explizit gegeben und ich sehe noch absolut gar nicht, wie mir das helfen soll.


Genau darüber solltest du nochmal nachdenken. Schließlich ist dir gegeben, wo (in welchem Intervall) dieses K denn liegt. Wird der Abstand zwischen zwei Folgengliedern also größer oder kleiner?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Folge!
Für den Beweis, dass es sich um eine Cauchyfolge handelt, nimmst Du Dir zwei Folgenglieder und musst zeigen, dass für für ein N in den natürlichen Zahlen und ein beliebiges Epsilon größer Null.
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand größer oder kleiner?
Naja, der Abstand zwischen einem Folgenglied und dem nächsten soll ja kleiner sein, als der zwischen diesem und dem vorherigen, auch noch, wenn es mit einem K mal genommen wurde. K liegt zwischen Null und eins. Es ist aber keines genau gegeben. Es muss also immer irgendeines geben, aber das kann ziemlich klein sein.
Kann ich das dann überhaupt genau sagen?

Nehmen wir mal, der Abstand wird größer:
Dann kann ich mit einem gut gewählten K, den Abstand von dem vorherigen, der ja eh schon kleiner ist, nur noch kleiner machen... OK, das ist Quatsch.

Der Abstand muss also kleiner werden.

Ist das richtig überlegt?
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Definition von Cauchy-Folge!
OK, wenn ich mir diese Definition nehme und sage, dass der Abstand zwischen zwei Folgenglieder größer als Epsilon sein soll... Naja, größer als Null ist er ja immer, da wir hier von dem Betrag reden und für ein beliebiges Epsilon, wird er es nur, wenn die Folge konvergiert, aber wie soll ich das mit den Informationen, die ich habe, zeigen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition von Cauchy-Folge!
Nutze wirklich die obige Abschätzung, die tmo vorschlägt und dazu die Eigenschaften einer Metrik.
Das ist der einfachste Weg hier!

[Meine Erläuterung, wie man zeigt, dass es sich um eine Cauchy-Folge handelt, war ja nur eine Art Erklärung hierzu.]


Du hast oben gefragt, woher man weiß, dass man so abschätzen darf:

Hierzu:
Sei X eine Menge. Eine Metrik auf X ist eine Funktion d, die je zwei Punkten x,y in X eine reelle Zahl d(x,y) zuordnet, sodass gilt:

1.) d(x,x)=0 und d(x,y)>0 für x ungleich y
2.) d(x,y)=d(y,x)
3.) d(x,y)<= d(x,z)+d(z,y) (Dreiecksungleichung)


Der Punkt 3 ist der Grund, warum man hier so abschätzen kann.
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
?
Ähm... Ich bin mir noch immer nicht sicher, wie ich damit auf ein Ergebnis kommen soll, aber ich kann es versuchen.

tmo meinte, ich kann alles mit der Dreiecksungleichung abschätzen. Er hat angefangen, indem er gemeint hat, dass der direkte Weg, von einem zum nächsten Folgenglied kürzer ist, als der Umweg über alle anderen. OK, die Dreiecksungleichung wurde bewiesen und ist klar, aber ich verstehe nicht, wie ich ausgehen davon weitermachen soll.

Du sagst, ich solle von den Eigenschaften einer Metrik ausgehen. Ich habe noch vier Eigenschaften.

1. Die gleichen Folgenglieder haben den Abstand 0.
2. Wenn zwei Folgenglieder den Abstand 0 haben, sind sie gleich.
3. Es herrscht Symmetrie.
4. Die Dreiecksungleichung gilt.

OK... Stimmt alles, aber ich sehe nicht, wo mit das weiterhelfen soll. Ich will doch im Endeffekt beweisen, dass die Folge konvergiert. Das mit der den gleichen Punkten sagt mir also fast nichts und die Symmetrie kann ich auch gerade nicht wirklich hinein interpretieren. Das einzige, was mir helfen könnte, ist die Dreiecksungleichung zu der ich auch einen Ansatz habe, aber an dem komme ich nicht weiter.

Könntest du mir vielleicht einen Tipp geben, wo ich weitermachen soll? Ich finde echt keinen Ansatz... traurig
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ?
Die vier Eigenschaften, die Du genannt hast, sind die gleichen, die ich aufgezählt habe. Ich habe sie auch nur wegen des 3. Punktes aufgezählt, damit man sieht, warum man tatsächlich so abschätzen kann.


Ich habe selbst noch keine Lösung gefunden, ich würde aber so versuchen, dass ich es immer weiter nach unten abschätze, sprich



Und irgendwann kommt man dann beim untersten Glied (n=2) an und man hat eine Abschätzung, in der irgendeine Potenz von K mit drin vorkommt... und da das K^n kleiner als 1 ist, ist der Ausdruck dann echt kleiner als d(...) und dies ist nach Eigenschaft einer Metrik >0, eignet sich also als Epsilon.



Es ist nicht gut erklärt, das liegt aber daran, dass ich es selbst noch nicht gemacht habe. Ich würde jedenfalls so abschätzen. Ich kann Dir keine Garantie geben, dass es die beste Lösung ist.
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Hä?
Vielleicht bin ich ja einfach zu blöd für die Aufgabe, aber du hast jetzt gesagt, dass der Abstand größer wird, wenn man alles mit einer Zahl multipliziert, die kleiner als 0 ist. Bist du dir sicher, dass das richtig ist? Wenn ich etwas mit K multipliziere, sollte es doch kleiner werden, oder nicht?
Außerdem gilt das doch laut der Formel oben erst ab dem zweiten Folgenglied?

Wie soll denn die Abschätzung weitergehen? Könntest du das bitte nochmal erläutern? Ich wäre dir sehr dankbar!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Re: Hä?
Wie gesagt, ich denke nur laut.

Wenn ich enen bestimmten Abstand d(a,b) [nach Def. >0, wenn a ungleich b} habe und ihn dann mit einer Zahl K multipliziere, die zwischen 0 und 1 liegt, dann
ist natürlich K*d(a,b)<d(a,b).

Und meine Idee war jetzt einfach, dass man dann im nächsten Schritt wieder abschätzt, dann hat man da was mit K^2 stehen für jeden Summand und dann immer so weiter. Irgendwann kommt man dann doch bei n=2 an und dann kann man nicht mehr weiter abschätzen, denn darunter gilt es ja nicht mehr, was die Aufgabe bereitstellt.

Für jeden Summanden kann man doch immer weiter abschätzen, bis man bei n=2 ankommt. Und am Ende hat man dann irgendwas der Form x*K^n*d(...) und das ist nach Obigem dann kleiner als d(...) und das ist größer Null.


{Vielleicht kann es jemand anders besser erklären als ich es kann.]
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Äh...
Du hast da oben aber nicht nach unten, sondern nach oben abgeschätzt. Laut dem, was du geschrieben hast, sollte es ja immer größer werden. Das hat mich gewundert. Der Umweg ist natürlich länger, als der direkte, aber wenn ich den Umweg mal K nehme, ist es nicht mehr länger, sondern kürzer, weil K ja zwischen 0 und 1 liegt. Ich bin mir aber nicht sicher, inwiefern ich dann sagen kann, dass es trotzdem noch größer, als der direkte Weg ist, oder ist es schon kleiner? Ich weiß es nicht...

Wie kommst du eigentlich bei n=2 an? Woher weiß ich, wann ich da bin und kann ich das wirklich sagen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äh...
Ach, so meinst du das.
Ja, natürlich schätzt man nach oben ab, die Folgenglieder wandern aber "nach unten", daher habe ich es so bezeichnet.


Also vielleicht mal ein Beispiel. Und es ist ja auch nicht ausgeschlossen, dass ich Blödsinn rede.


Sei jetzt mal n=5.

.

Korriege mich bitte, wenn das Schwachsinn ist!
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Naja...
Ich bin mir nicht sicher, ob das stimmt. Zumindest hast du die Aufgabe weiter angewendet, aber ich weiß nicht, wo du hernimmst, dass die Ks immer mehr werden. Der Abstand zwischen den Folgengliedern wird immer kleiner, also immer größer, wenn du weiter zurück gehst. Nimmt man es dann mal K sollte es so sein, wie du es geschrieben hast.

Trotzdem sehe ich noch nicht, wo wir damit die Konvergenz gezeigt haben. Man muss ja, um eine Konvergenz zu zeigen, EIGENTLICH ein n0 angeben können, ab dem alle Folgenglieder in der Epsilonumgebung von dem Grenzwert liegen. Das haben wir hier irgendwie noch nicht gemacht. Wir haben zwar gezeigt, dass der Abstand zwischen den Folgenglieder immer kleiner wird, aber das kann doch nicht alles sein, oder?

P.S.: Wenn du ein Epsilon haben willst, musst du \varepsilon schreiben. ^^
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Naja...
Wieso die Ks mehr werden?

Weil Du doch z.B. auf wieder anwenden kannst:
. Also steht da insgesamt und analog dann für die nächsten Schritte. Es kommt immer ein K dazu, weil Du die d(...) wieder entsprechend der Aufgabenstellung abschätzen kannst.

Ist das nicht gegeben? Ich meine das gilt doch für ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Naja...
Ist hier niemand, der kompetenter ist als ich??
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm...
Naja, das mit den Ks kann man wohl nehmen, wie man will. Ich bin der Meinung, dass die nicht mehr werden, aber selbst wenn, könnte man sie ja aus der Gleichung auch gleich wieder rauskürzen. Es geht ja auch eigentlich um den Abstand. Der wird immer kleiner und ab einem bestimmten n0 liegen alle Folgenglieder in der Epsilonumgebung von dem Grenzwert. Ab dem n=2 gilt ja erstmal die Formel, aber von dem Grenzwert ist das noch meilenweit entfernt. Das Epsilon muss ja möglichst klein sein. In diesem Fall dürfte das Epsilon der Abstand sein, der sehr klein sein muss und trotzdem gibt es noch immer ein Epsilon, das kleiner ist und dazu auch immer noch ein n-tes Folgenglied, welches diesen Abstand zum Grenzwert hat. Das müssen wir doch beweisen, oder sehe ich das falsch?
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Das

Zitat:


mit dem
Zitat:


ist doch schon die Lösung, denn wenn du den ganzen Term nach oben abschätzen tust geht die obere Schranke gegen null.
Du musst doch nur zeigen dass dieses Dinge eine Cauchy Folge ist, also nimm dir zu und schätz so wie es da steht nach oben ab, dann passts.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ähm...
Ehrlich gesagt sehe ich die Problematik gar nicht.
Du willst zeigen, dass es eine Cauchyfolge ist und dazu muss gezeigt werden, dass gilt für ein . Und so ein Epsilon ist hier gefunden.

Der Witz einer Cauchyfolge ist gerade, dass man den Grenzwert überhaupt gar nicht braucht um Konvergenz zu zeigen. Und wieso die Ks nicht mehr werden sollen, verstehe ich nicht, wieso soll man es so und so sehen können? Es ist doch so in der Aufgabenstellung festgelegt.


Ab hier kann ich nicht weiter helfen, ich persönlich würde sagen, dass die Aufgabe so einigermaßen richtig erfüllt ist.

Jemand Anders kann dann besser weiter helfen und/ oder mich korrigieren.
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ähm... Naja, das mit den Ks kann man wohl nehmen, wie man will. Ich bin der Meinung, dass die nicht mehr werden, aber selbst wenn, könnte man sie ja aus der Gleichung auch gleich wieder rauskürzen. Es geht ja auch eigentlich um den Abstand. Der wird immer kleiner und ab einem bestimmten n0 liegen alle Folgenglieder in der Epsilonumgebung von dem Grenzwert. Ab dem n=2 gilt ja erstmal die Formel, aber von dem Grenzwert ist das noch meilenweit entfernt. Das Epsilon muss ja möglichst klein sein. In diesem Fall dürfte das Epsilon der Abstand sein, der sehr klein sein muss und trotzdem gibt es noch immer ein Epsilon, das kleiner ist und dazu auch immer noch ein n-tes Folgenglied, welches diesen Abstand zum Grenzwert hat. Das müssen wir doch beweisen, oder sehe ich das falsch?


Nochmal ein Hinweis, mach dir mal allgemein den Unterschied zwischen einer Cauchyfolge und einer Konvergenten Folge in metrischen Räumen klar, da ist elementar!

Das mit dem Epsilon kann man sich auch sparen wenn man z.b. zeigt

. Also wenn die obere Schranke gegen null geht muss auch der kleinere Term konvergieren. Ich denke mal mal muss ausnutzen dass K als Potenz gegen null geht, soweit ich das nach kurzem überlesen gesehen habe.
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
...
Werden es jetzt mehr Ks oder nicht? Naja, eigentlich ist das auch fast egal in dieser Aufgabe.
Trotzdem bin ich noch immer der Meinung, dass dieser Term da oben nicht stimmt. Ich nehme mir den Weg zwischen zwei Folgengliedern. Der Umweg über alle anderen ist dann klar länger. Wenn ich jetzt aber dieser Weg mal K nehme, wird er ja viiiieeelll kleiner und dann lasse ich noch den kleinsten Teil weg und hänge was größeres wieder ran? Woher will ich jetzt wissen, dass das noch immer größer ist?

Sorry, ich glaube, ich stehe heute voll auf dem Schlauch...
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ehrlich gesagt sehe ich die Problematik gar nicht. Du willst zeigen, dass es eine Cauchyfolge ist und dazu muss gezeigt werden, dass gilt für ein . Und so ein Epsilon ist hier gefunden.


Deine Formulierung so ein Epsilon ist gefunden ist falsch. Man muss zeigen, dass zu jedem Epsilon welches größer null ist eine Indexfolge existiert so das der Abstand ab einem gewißen Index immer kleiner wird. Und dies ist zu zeigen nicht nur für eines.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Du hast Recht.

Ich habe es nicht richtig ausgedrückt.
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es sei ein vollständiger metrischer Raum und eine Folge in mit der Eigenschaft, dass für ein gilt: . Zeigen Sie, dass konvergiert.


Ich versteh nicht dein Problem?

Die Eigenschaft die da steht impliziert doch für dass dann


Das ist natürlich ungenau abgeschätzt aber gibt den Sinn wieder. Du musst dir es nur mal genau hinschreiben und dann siehst du was gemeint ist.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Witzig, wie kurz Du das formulieren kannst, was ich in 1000 Beiträgen beschrieben habe! Freude
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Ok...
Nochmal...:
Ich bin mir nicht sicher, woher ihr nehmt, dass das wirklich immer größer wird. Ich sehe das nämlich nicht.
Ich dachte, eine konvergente Folge im metrischen Raum, WÄRE eine Cauchy-Folge. Ist dem nicht so?

Sorry, ich verstehe grade gar nichts mehr... traurig
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja dafür habe ich es eigentlich nicht sauber gemacht. Du hasts wenigstens genau ausgeführt. (was besser ist) Freude
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ok...
Schreib doch mal mit Latex hin welchen Schritt du genau nicht checkst.

O.k. ganz locker bleiben:

Eine Cauchy-Folge in einem metrischen Raum muss nicht immer konvergieren, sie konvergiert aber in jedem Falle, wenn der Raum vollständig ist! Insofern hast du Recht, das in deinem Fall die Implikation gilt Cauchy Folge gleich konvergente Folge.

Es gibt aber auch Fälle insbesondere wenn der Raum nicht vollständig ist, wo eine Cauchy Folge nicht konvergiert.

Das kann dir jetzt erstmal egal sein. Setz dich mal 10 Minuten hin und mach dir bewusst was du zeigen willst und wie und dann schätze es ab.
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
?
Bitte entschuldigt, wenn das folgende jetzt sehr dumm ist, aber wenn die obere Schranke 0 ist, müssten Abstande zwischen Folgenglieder negativ sein.
Seit wann geht das denn?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ?
Die obere Schranke soll 0 sein?
Nein, so war das nicht gemeint.

Eher so:
Nun ja, wenn Du zeigen kannst, dass die obere Grenze immer kleiner wird und der Abstand zwischen kleiner gleich dieser oberen Schranke ist, dann ist das doch nichts Anderes als die Aussage, dass das Epsilon beliebig klein gewählt werden kann. Man kann also ebenso dies zeigen und das mit dem Epsilon weglassen. Es ist als Abschätzung gemeint.
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Halt die obere Schrank ist nich null sieh geht im Grenzwert gegen null.

Hast duch noch nie eine Abschätzung der Form



gesehen? (Soll nur ein Beispiel sein)

In diesem Fall können wir die Folge durch abschätzen und das geht gegen null für .
Da spart man sich dass lästige Gebrabbel.

Edit: Und genau das ist die Quintessence der Aufgabe, so musst du vorgehen, nach oben abschätzen und dann hast du als obere Schranke eine Konstante die gegen null geht.
Wie gesagt diese Epsilon Definition dient eher dem Verständnis, als dass man das immer benutzt. Die Regel ist, das man es so macht wie ich es eben erklärt habe.
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
zu zeigen:
Ich soll ja laut Aufgabe zeigen, dass die Folge mit der Eigenschaft:

konvergiert.
Dazu soll ich irgendwie die Dreiecksungleichung verwenden. Mein Problem ist eure Abschätzung dabei. Ich verstehe nicht, warum ihr manche Sachen weglassen, andere hinzufügen und alles mal K nehmen könnt und das noch immer größer wird. Das hat hier ja auch nie jemand erklärt.
Dann soll ich irgendwo auf n=2 kommen, weiß aber gar nicht, wo und ab welchem n0 das dann für welches Epsilon gilt ist mir auch noch total schleierhaft.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zu zeigen:
Was wurde denn weggelassen und was hinzugefügt? Es wurden doch nur nur die Aufgabenvoraussetzungen angewandt. Poste doch mal, was genau Du meinst.
Und woher die zusätzlichen K´s stammen, ist doch oben erklärt.

Ja und die Dreiecksungleichung steckt in der 3. Metrik-Eigenschaft.
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Problem!
Du hast da oben mal geschrieben, wie du das ganze abschätzen willst:
Mir ist dabei aber noch nicht klar, warum das alles trotzdem immer größer wird.
Du hast folgendes gesagt:

Das erste kleinergleich-Zeichen ist mir klar, aber das zweite nicht mehr. Du hast den ersten Summanden weggelassen, am Schluss einen neuen hinzugefügt, alles mal K genommen und behauptet, es wäre trotz allem größer.
Warum ist das so?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem!
Zitat:
Original von Paradiesvogel
Du hast da oben mal geschrieben, wie du das ganze abschätzen willst:
Mir ist dabei aber noch nicht klar, warum das alles trotzdem immer größer wird.
Du hast folgendes gesagt:

Das erste kleinergleich-Zeichen ist mir klar, aber das zweite nicht mehr. Du hast den ersten Summanden weggelassen, am Schluss einen neuen hinzugefügt, alles mal K genommen und behauptet, es wäre trotz allem größer.
Warum ist das so?


Ich habe den ersten Summanden nicht weggelassen, sondern mir für diesen Summanden nur angeguckt, was die Aufgabe dazu sagt, sie sagt:

. Also steht nach dem zweiten als allererstes . Ebenso habe ich das für den zweiten, den dritten usw. Summanden gemacht. So kommt das zustande, was hinter dem zweiten steht.

Dann hinter dem dritten, dem vierten, dem fünften usw. stehen wieder die Abschätzungen, die aufgrund der Aufgabenstellung für jeden einzelnen der neu entstandenen Summanden gemacht wurden. Und so geht es dann immer weiter. dabei entstehen immer höhere Potenzen von K und damit folgt dann die Konvergenz, wie oben argumentiert wurde.
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

O.k. ich würde es so machen:

O.B.d.A sei und sei ferner derart ausgewählt, dass l eine natürlich Zahl ist, dann gilt



Bei (*) wurde jeweils die Dreiecksungleichung angewendet. Und bei (**) musst du nun die Eigenschaft der Folge anwenden.

O.K.?

Edit man muss dann eben noch gucken, was passiert wenn das letzte Folgenglied evtl. kleiner als 2 wird, also falls m-2 < 2, dann darfst du die Eigenschaft (**) nicht mehr benutzen.

Ansonsten wie gesagt nur noch die Eigenschaft anwenden und das erhälst du dann eine Konstante mit .
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

BanachraumK_5: Ich würde sagen, Du übernimmst das hier, Du hast anscheinend ein Talent Dinge kurz und prägnant zu erklären! Ich verstehe Deine Beiträge besser als meine eigenen.. Big Laugh
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