supremum, relle zahlen, unendlich,Lemma

27.12.2010, 17:13	saladin	Auf diesen Beitrag antworten »
supremum, relle zahlen, unendlich,Lemma Meine Frage: Servus matheleute, ich check mal wieder was ned... eine lemma meines Profs: Sei $\begin{eqnarray} A \subseteq \mathbb R \end{eqnarray}$ . Dann existier zu jeder rellen Zahl s < sup A ein $\begin{eqnarray} a \in A \end{eqnarray}$ mit a >s. Beweis: Ist A leer, so ist nichts zu zeigen, wege, s<supA=-unendlich. Sai also A nicht leer: Angenommen, es existiert zu einer rellen Zahl s<supA kein $\begin{eqnarray} a \in A \end{eqnarray}$ mit a >s. Dann wäre $\begin{eqnarray} A \leq s < supA \end{eqnarray}$ bist hierher ist mir alles klar.. aber jetzt kommt mein problem: Falls supA < unendlich, so widerspricht dies der Eigenschaft von supA, die kleinste obere Schranke von A zu sein. Falls aber supA=unendlich, so widerspricht dies der Unbeschränktheit von A. In jedem Fall erhalten wir einen Widerspruch. Meine Ideen: Ok also, der Typ will das Gegenteil der Aussage also zum widerspruch führen. Was mich jetzt stört ist. 1) Wären wir jetz nicht vom Gegenteil ausgegangen, so hätten wir: $\begin{eqnarray} s<a<supA \end{eqnarray}$ .... und damit hätten wir doch auch zeigen können: supA < unendlich -> widerspruch supA = unendlich -> widerspruch mit dem selben Beweis wie oben oder nicht? 2) Was bedeutet es, wenn supA = unendlich ? ist A dann beschränkt, mit supA = unendlich? oder heißt supA= unendlich, dass A unbeschrnänkt ist? Wie hab ich mir das vorzustellen? gruß saladin
27.12.2010, 18:02	gotfried	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man den Beweis etwas ausführlicher formuliert, wird es denke ich klarer: Falls $\begin{eqnarray} \sup A < \infty \end{eqnarray}$ , so widerspricht dies der Eigenschaft von $\begin{eqnarray} \sup A \end{eqnarray}$ , die kleinste obere Schranke von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ zu sein (denn dann wäre $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ das Supremum von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ). Falls aber $\begin{eqnarray} \sup A=\infty \end{eqnarray}$ (in diesem Fall wäre $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ unbeschränkt), so widerspricht dies der Unbeschränktheit von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . In jedem Fall erhalten wir einen Widerspruch.
27.12.2010, 18:21	saladin	Auf diesen Beitrag antworten »
warum wäre s dann supremum von A wenn supA < unendlich?
27.12.2010, 19:08	gotfried	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt! $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ ist nicht zwangsläufig das Supremum von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , jedoch besteht der Widerspruch darin, dass mit $\begin{eqnarray} s < \sup A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a \leq s, \forall a\in A \end{eqnarray}$ zmindest $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ eine kleinere obere Schranke von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} \sup A \end{eqnarray}$ ist, und damit ist $\begin{eqnarray} \sup A \end{eqnarray}$ kein Supremum von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ .
27.12.2010, 19:34	saladin	Auf diesen Beitrag antworten »
jawoll... ... den größten teil hab ich jetzt geschnallt... aber irgendwie ist in meinen augen jetzt "s" doch das supremum von A (obwohl ich des vorher nicht verstehen wollte). Jetz kommst du wieder und sagst s muss nicht supA sein... aber es gilt doch a=< s für alle a Element A.... natürlich ist supA=s .. oder nicht?
28.12.2010, 08:27	gotfried	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist mit $\begin{eqnarray} a\leq s \end{eqnarray}$ nicht explizit ausgeschlossen, dass es keine Zahl $\begin{eqnarray} z\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} a\leq z\leq s, \forall a\in A \end{eqnarray}$ .
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