Zwei Urnen

27.12.2010, 17:58

Piranha

Zwei Urnen

Hey Leute, ich hab hier eine eigentlich relativ einfache Aufgabe, aber ich bin dennoch unsicher, ob das stimmt, was ich mir überlegt habe.

Also das Problem sieht wie folgt aus:

Zwei Urnen stehen auf einem Tisch. Die linke enthält 10 weiße und 5 schwarze Kugeln und die rechte 10 schwarze und 5 weiße. Es wird zufällig eine der Urnen gewählt und daraus werden ohne Zurücklegen zufällig zwei Kugeln gezogen.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel weiß ist.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel schwarz ist.

Erstmal zu a):

Mit L habe ich die linke Urne benannt und mit R die rechte. 0 steht für eine weiße Kugel, die gezogen wurde und 1 für eine schwarze.

Dann gilt P(L) = 0.5 = P(R)

und weiterhin:

$\begin{eqnarray*} P(\omega_1 = 0|L) = \frac{10}{15} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\omega_1 = 0|R) = \frac{5}{15} \end{eqnarray*}$

Die Antwort lautet also:

$\begin{eqnarray*} P(\omega_1 =0) = P(L) \cdot P(\omega_1 =0|L) + P(R) \cdot P(\omega_1=0|R) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Kann das jemand so bestätigen?

Jetzt zu b) (und hier bin iwie tatsächlich ein wenig unsicher...)

$\begin{eqnarray*} P(\omega_2 =1|(L \cap \omega_1=0)) = \frac{5}{14} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\omega_2 =1|(R \cap \omega_1=0)) = \frac{10}{14} \end{eqnarray*}$

Dann lautet die Antwort:

$\begin{eqnarray*} P(\omega_2 =1) = P(L) \cdot P(\omega_2 =1|(L \cap \omega_1=0)) + P(R) \cdot P(\omega_2 =1|(R \cap \omega_1=0)) = \frac{15}{28} \end{eqnarray*}$ .

Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand mal drüberschaut und mir gegebenenfalls einen Verbesserungsvorschlag zukommen lässt! Big Laugh

27.12.2010, 18:20

Math1986

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Hi

a) Ist schonmal richtig, man könnte auch wie folgt argumentieren:
Da man mit gleicher Wahrscheinlichkeit links wie rechts zieht, hat somit JEDE Kugel die selbe Wkeit gezogen zu werden, so dass man quasi auch alle Kugeln in eine Urne werfen und aus dieser Gesamtheit ziehen könnte (falls eine der beiden Urnen bevorzugt wird funktioniert diese Argumentation allerdings nicht mehr)

b) Hier verwirrt mich deine Notation leider, was meint zB
$\begin{eqnarray*} P(\omega_2 =1|(L \cap \omega_1=0)) = \frac{5}{14} \end{eqnarray*}$

Der Fall $\begin{eqnarray*} \omega_1=1 \end{eqnarray*}$ , also dass die ersten BEIDEN Kugeln schwarz sind, wird da, so wie ich das sehe, überhaupt nicht betrachtet

27.12.2010, 19:31

Piranha

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hey,

vielen dank für die schnelle antwort!

und sorry, ja das war vielleicht ein bisschen doof, so ohne erklärung bei b) Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \omega_2 \end{eqnarray*}$ soll die zweite gezogene kugel sein.

also ich meine mit

$\begin{eqnarray*} P(\omega_2 =1|(L \cap \omega_1=0)) = \frac{5}{14} \end{eqnarray*}$

" die wahrscheinlichkeit, dass die zweite kugel eine schwarze kugel ist, unter der bedingung, dass ich aus der linken urne ziehe und die erste gezogene kugel weiß war"

hoffe jetzt kannst du den ansatz nachvollziehen und mir dann erklären wie man's richtig / besser macht!

vielen dank schonmal!

27.12.2010, 19:34

Math1986

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Wie schon gesagt:

Zitat:

Original von Piranha
" die wahrscheinlichkeit, dass die zweite kugel eine schwarze kugel ist, unter der bedingung, dass ich aus der linken urne ziehe und die erste gezogene kugel weiß war"

Das Ereignis "die erste gezogene kugel schwarz war" fehlt in der Rechnung, sonst siehts richtig aus

27.12.2010, 19:52

Piranha

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ahhhh!!!

ja, ich bin halt einfach mal davon ausgegangen, dass die erste weiß sein soll. wegen aufgabenteil a)....

aber stimmt, explizit steht's da natürlich nicht.

aber jetzt bin ich etwas verwirrt.

hab jetzt $\begin{eqnarray*} P(\omega_2 =1|(L \cap \omega_1=1)) = \frac{4}{14} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(\omega_2 =1|(R \cap \omega_1=1)) = \frac{9}{14} \end{eqnarray*}$

so hinzugefügt:

$\begin{eqnarray*} P(\omega_2 =1) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{14} + \frac{4}{14}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{10}{14}+\frac{9}{14}) = 1 \end{eqnarray*}$

aber das kann so doch nicht stimmen,oder?

27.12.2010, 19:54

Math1986

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Zitat:

Original von Piranha
ahhhh!!! Hammer

Nein, das kann nicht stimmen, das hiesse ja, dass die zweite Kugel immer schwarz ist.

Gliedere das mal in einer Fallunterscheidung nach der ersten Kugel:
-Die erste Kugel ist weiss aus der linken Urne
-Die erste Kugel ist schwarz aus der linken Urne
-Die erste Kugel ist weiss aus der rechten Urne
-Die erste Kugel ist schwarz aus der rechten Urne

Da diese Einzelereignisse offenbar disjungt sind kannst du deren Wahrscheinlichkeiten addieren

27.12.2010, 20:20

Piranha

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da hab ich dann

$\begin{eqnarray*} P(\omega_1 =0|L) = \frac{10}{15} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(\omega_1 =0|R) = \frac{5}{15} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(\omega_1 =1|L) = \frac{5}{15} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(\omega_1 =1|R) = \frac{10}{15} \end{eqnarray*}$

aber ich steh ganz schön auf dem schlauch wie's nu weitergeht...

hab jetzt noch folgendes berechnet:

$\begin{eqnarray*} P(\omega_2 =1|(L \cap \omega_1 =0)) = \frac{5}{14} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(\omega_2 =1|(L \cap \omega_1 =1)) = \frac{4}{14} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(\omega_2 =1|(R \cap \omega_1 =0)) = \frac{10}{14} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(\omega_2 =1|(R \cap \omega_1 =1)) = \frac{9}{14} \end{eqnarray*}$

aber nu weiß ich nicht wie ich weitermache....

27.12.2010, 21:26

Math1986

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Der Ansatz ist richtig, aber du musst die Wkeiten miteinander multiplizieren:

Nehmen wir zB mal aus meinem vorherigen Beitrag das Ereignis
-Die erste Kugel ist weiss aus der linken Urne
-Die Wkeit für die linke Urne ist 0,5
Die Wkeit, dass die erste Kugel weiss ist, ist 10/15 (=2/3)
Die Wkeit, dass die zweite Kugel schwarz ist, ist 5/14

Das musst du jetzt miteinander multiplizieren:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{14} \end{eqnarray*}$

Das selbe Vorgehen für die restlichen Ereignisse von oben und dann summieren

28.12.2010, 11:15

Piranha

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danke!

ich muss zugeben, ich hab's nicht so mit urnenmodellen und kombinatorik^^

dann bekomme ich letztendlich für die wahrscheinlichkeit, dass die zweite kugel eine schwarze ist auch 0.5

das gefällt mir auch viel besser als 1 Augenzwinkern

weil das jetzt so ein desaster war nochma der aufgabenteil c):

sind die beiden ereignisse aus a) und b) unabhängig?

unabhängigkeit liegt ja dann vor, wenn $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) = P(A)P(B) \end{eqnarray*}$ .

also in meinem fall:

$\begin{eqnarray*} P(\omega_1=0 \cap \omega_2=1) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{14} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{10}{14} = \frac{5}{21} \neq \frac{1}{4} = P(\omega_1=0)P(\omega_2=1) \end{eqnarray*}$

die ereignisse sind also nicht unabhängig, was bei ziehen ohne zurücklegen ja auch sinn macht.

hab ich da jetzt alles richtig gemacht? Augenzwinkern

danke nochmal für die schnellen antworten!

28.12.2010, 11:18

Math1986

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Ja, das ist richtig

28.12.2010, 11:31

Piranha

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sehr schön smile

du bist aber ganz schön schnell mit deinen antworten, echt spitze!

eine letzte frage gab's noch:

d) gegeben die erste kugel ist weiß und die zweite kugel ist schwarz, wie groß ist dann die wahrscheinlichkeit, dass wir aus der linken urne gezogen haben?

mein vorschlag:

$\begin{eqnarray*} P(L|\omega_1=0 \cap \omega_2=1) = \frac{P(L \cap \omega_1=0 \cap \omega_2=1)}{P(\omega_1=0 \cap \omega_2=1)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{10}{15} \cdot \frac{5}{14}}{\frac{5}{21}} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

wär schön, wenn du mir noch ein letztes mal sagst, ob das so okay ist?!

28.12.2010, 12:53

Math1986

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Ja, richtig

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