Termumformungsproblem bei limes Betrachtung

27.12.2010, 18:10

oslo

Termumformungsproblem bei limes Betrachtung

hallo leute, ich kann folgende termumformung nicht nachvollziehen, könnt ihr mir bitte weiterhelfen?

Ausgangsfunktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(\alpha*\beta)}{(x+\beta )^{2} } \end{eqnarray*}$

diese soll für lim x gegen unendlich betrachtet werden, als Grenzwert wird alpha angegeben:

$\begin{eqnarray*} \alpha *\frac{1}{1+\frac{\beta }{x} } = \alpha \end{eqnarray*}$

das Ergebnis = alpha kann ich nachvollziehen, ich verstehe jedoch nicht, wie man von der ausgangsfunktion den term:

$\begin{eqnarray*} \alpha *\frac{1}{1+\frac{\beta }{x} } \end{eqnarray*}$

erhält.

Vielen Dank für Eure hilfe.

27.12.2010, 19:08

Gast11022013

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RE: Termumformungsproblem bei limes Betrachtung
Vielleicht hilft Dir dieses Beispiel weiter:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n+4}{n^2-3n+1}=\frac{1+\frac{4}{n}}{n-3+\frac{1}{n}}>\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , d.h. die Folge divergiert, denn für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ gilt diese Abschätzung.

27.12.2010, 19:40

tohuwabou

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RE: Termumformungsproblem bei limes Betrachtung
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \alpha *\frac{1}{1+\frac{\beta }{x} } = \alpha \end{eqnarray*}$ ist richtig,

aber $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x)=0 \end{eqnarray*}$

Termumformung? Ich seh da keinen Zusammenhang.

27.12.2010, 19:43

Gast11022013

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RE: Termumformungsproblem bei limes Betrachtung

Zitat:

aber $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x)=0 \end{eqnarray*}$

Termumformung? Ich seh da keinen Zusammenhang.

Ja, richtig, das scheint nicht zusammenzuhängen.

Wie lautet denn genau die Aufgabenstellung??

Vielleicht falsch abgeschrieben? verwirrt

Das von mir gegebene Beispiel ist eine Termumformung, aber so, wie Du die Aufgabe gestellt hast, ist nicht erkennbar, wie ein Term aus dem anderen Term durch Umformung entstanden sein soll.

27.12.2010, 20:57

oslo

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ja stimmt - ihr habt recht sorry:

das ist die korrekte funktionsgleichung:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\alpha *\frac{x}{x+\beta } \end{eqnarray*}$

und das die lim betrachtung:

lim x -> unendlich -> $\begin{eqnarray*} \alpha *\frac{1}{1+\frac{\beta }{x} } =\alpha \end{eqnarray*}$

die umformung von der f(x) zur limes betrachtung packe ich gerade gedanklich nicht

27.12.2010, 22:01

Gast11022013

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So, wie ich das sehe, werden doch einfach Zähler & Nenner jeweils durch x geteilt:

Zähler:

$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha x}{x}=\alpha \end{eqnarray*}$ und

Nenner:

$\begin{eqnarray*} \frac{x+\beta}{x}=1+\frac{\beta}{x} \end{eqnarray*}$

Insgesamt ergibt sich dann der gesuchte Ausdruck.

[An alle Besserwissenden: Ist das schon die Erklärung oder ist das unzureichend erklärt?]

27.12.2010, 22:05

Calvin

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Zitat:

Original von Dennis2010
[An alle Besserwissenden: Ist das schon die Erklärung oder ist das unzureichend erklärt?]

Alles richtig erklärt. Alternativ kann man sagen, dass im Zähler und Nenner x ausgeklammert und anschließend gekürzt wurde.

28.12.2010, 18:49

oslo

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ja klar ! perfekt vielen dank euch!

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