Widersprüchliche Ergebnisse für Extremwertproblem

27.12.2010, 19:08

oslo

Widersprüchliche Ergebnisse für Extremwertproblem

hallo zusammen,

ich kann bei folgender aufgabe meinen denkfehler nicht finden:

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zur herstelllung eine bieres benötigt eine brauerei die inputfaktoren x und y. die entsprechende produktionsfunktion wird annähernd durch folgende funktion beschrieben:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=-x^{3} + 12xy - y^{3} +1000 \end{eqnarray*}$

bestimmen sie die faktormengenkombination (x0,yo)^T, für die der output maximiert wird.

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mein lösungsansatz wäre folgender:

die notwendigen bedingungen für ein maximum sind:

grad f(x,y) = 0 und die Hessematrix für f(x,y) muss negativ definit sein

als partielle ableitungen zur bestimmung von grad f(x,y) erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} fx(x,y)=-3x^{2} + 12y <br /> <br /> fy(x,y)=-3y^{2} + 12x \end{eqnarray*}$

und somit für den $\begin{eqnarray*} grad f(x,y) =(-3x^{2} + 12y; -3y^{2} + 12x \end{eqnarray*}$

als kritische Punkte, welche grad f(x,y) = 0 erfüllen erhalte ich dann:

Punkt 1 -> (0,0)
Punkt 2 -> (4,1)

rechenschritte zur bestimmung der kritischen punkt über einsetzungsverfahren:

$\begin{eqnarray*} -3x^{2} + 12y \end{eqnarray*}$ aufgelöst nach y ergibt
$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{4} x^{2} \end{eqnarray*}$

den wert für y in $\begin{eqnarray*} -3y^{2} + 12x \end{eqnarray*}$ eingesetzt und nach x aufgelöst ergibt x1=0 und x2=4 und daraus wiederum für die y-werte von x1 und x2 -> y1= 0 und y2=1

die extremabestimmung via hessematrix ergibt für Punkt1 einen Sattelpunkt und somit kein extrema; für punkt2 erhalte ich negative semi definitheit und somit den beweis für ein vorliegen eines maximus bei (4,1) für (x,y).

das PROBLEM ist nun:

wenn ich nun jedoch als probe in die obige funktionsgleichung f(x,y) (4,1) einsetze erhalte ich 983 als funktionswert; wenn ich nun (1,1) einsetze, dann erhalte ich 1010 und somit einen höheren output, als für meine bestimmte kritische stelle -> nun wäre die schlussfolgerung, dass ich die kritische stelle falsch bestimmt habe, ich kann jedoch keinen fehler bei meiner berechnung finden. könnt ihr mir weiterhelfen?

27.12.2010, 19:27

Cel

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(Fast) alle deine Rechnungen stimmen (bei positiver Semidefinitheit ist Vorsicht geboten aber seien wir mal nicht so am Ende des Jahres Augenzwinkern

).
Guck dir noch mal y2 an.

Wenn ich $\begin{eqnarray*} (x_2, y_2) = (4,1) \end{eqnarray*}$ in den Gradienten stecke, kommt nicht Null heraus. Du hast dich dort verrechnet.

27.12.2010, 21:05

oslo

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vielen dank für deine antwort. ich schaue mir den kritischen punkt 4;1 nochmal an.

d.h. doch aber ich müsste nun bei meiner rechnung 1;1 erhalten oder ? weil wenn du dir die produktionsfunktionsgleichung anschaust, dann erkennt man ohne zu rechnen, dass für x=1 und y=1 der max funktionswert von 1010 erhalten werden kann (denkfehler???)

was ist an der pos semidefinitheit kritisch?

27.12.2010, 22:46

Cel

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Zitat:

Original von oslo
d.h. doch aber ich müsste nun bei meiner rechnung 1;1 erhalten oder ? weil wenn du dir die produktionsfunktionsgleichung anschaust, dann erkennt man ohne zu rechnen, dass für x=1 und y=1 der max funktionswert von 1010 erhalten werden kann (denkfehler???)

Ja, das ist ein Denkfehler. x = 4 stimmt. Nur der zugehörige y-Wert eben nicht. Du hast aber auch richtig geschrieben, dass y = 1/4*x² ist. Setz dort ein, dann stimmt's - und der Funktionswert liegt über 1010.

Will man ganz sicher wissen, dass ein Extremum vorliegt, muss die Hessematrix definit sein, aber nicht semidefinit. Bei Semidefinitheit kann man leider keine Aussage treffen (analog zum eindimensionale Fall: Ist dort f''(x_0) = 0, muss man anders ran gehen).

Edit: Und um ehrlich zu sein: Ich bin mir gar nicht sicher, dass f an dem (richtigen) zweiten kritischen Punkt ein Maximum hat. Ich werd das mal morgen durchrechnen. Falls du das voher liest: Ich schreib noch was dazu. Augenzwinkern

Edit2: Die Funktion hat dort ein Maximum. Ich weiß nicht, wie ihr das in eurer Vorlesung macht. Es gibt Funktionen, die einen Gradienten von Null an einer Stelle haben, die Hessematrix an der Stelle ist semidefinit, sie hat dort aber kein Extremum. Du müsstest (nach meiner Meinung) noch zeigen, dass die Funktion wirklich ein Maximum hat. Aber sie hat eines, wie gesagt.

28.12.2010, 18:41

oslo

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vielen dank für deinen hinweis - ein blöder leichtsinnsfehler hat mir den falschen wert für den kritischen punkt eingebrockt;

richtige lösung: kritischer punkt (4;4) und entsprechender max output 1064 ME

ja, das maximum würde ich über die diagonalisierung der matrix beweisen bzw. die semi definitheit; ich erhalte wenn mich nicht alles täuscht über die diagonalisierung negative semi definitheit und dies ist ein beweis für ein maximum; ggf. muss ich noch eine randbetrachtung vornehmen, um eine definitive aussage über ein globales maximum zu erhalten.

>> genau werde ich es morgen früh nochmal durchrechnen - und dir als antwort posten

hast du dir die funktion grafisch dargestellt (wenn ja, mit welchem programm - maple ? , um das maximum zu erkennen??

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