schwierige Grenzwertaufgabe

27.12.2010, 20:13

Eyvan

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schwierige Grenzwertaufgabe

Folgende Aufgabe

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n (\frac{1}{n+2}( \sum\limits_{k=1}^n k)-n/2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{1}{n+2})*\lim_{n \to \infty } ( \sum\limits_{k=1}^n k)-\lim_{n \to \infty } n/2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0*\infty -\infty \end{eqnarray*}$

L.Hospital anwenden:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{n+2})' =- \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} (\frac{n}{2})' = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

aber was mit der Summe tun?

27.12.2010, 21:18

corvus

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RE: schwierige Grenzwertaufgabe

Zitat:

Original von Eyvan
Folgende Aufgabe

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n (\frac{1}{n+2}( \sum\limits_{k=1}^n k)-n/2 \end{eqnarray*}$

da scheitert guter Rat schon am Durchzug:
links gehen zwei Klammern auf und rechts geht nur eine zu.. verwirrt

verwirrt

.

27.12.2010, 22:36

Eyvan

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RE: schwierige Grenzwertaufgabe
Korrektur
Aufgabe lautet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n+2}( \sum\limits_{k=1}^n k)-n/2 \end{eqnarray*}$

das n vorne war auch zu viel... dieses Latex ist auch nicht das bestlesbare Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.12.2010, 00:51

dr.morrison

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Guten Abend.

l'Hospital ist hier leider nicht anwendbar, da es sich um eine Folge handelt. In speziellen Fällen ist das machbar, wenn eben eine Funktion, die die Folge beinhaltet, streng monoton fallend ist (z.B.). Hier ist die Schwierigkeit bei der Summe. Ihr hattet bestimmt eine geschlossene Formel für diese Summe - die gibt es z.B. bei Wikipedia unter Potenzsummen. Damit vereinfachst Du den Term und wendest die Grenzwertsätze für Folgen an. Fertig! Lg, dr. morrison

28.12.2010, 01:35

Eyvan

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...Stichwort geometrische Reihe, wann lehrn ich endlich.
die konvergiert doch nicht.

Grenzwert - unendlich

... oder?

28.12.2010, 08:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von Eyvan
...Stichwort geometrische Reihe, wann lehrn ich endlich.

Erstmal ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$ keine geometrische Reihe, zum anderen heißt es "lernen". smile

smile

Wie dr.morrison schon sagte, gibt es für die Summe eine geschlossene Formel.

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28.12.2010, 10:38

corvus

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RE: schwierige Grenzwertaufgabe

Zitat:

Original von Eyvan
Korrektur
Aufgabe lautet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n+2}( \sum\limits_{k=1}^n k)-n/2 \end{eqnarray*}$

na ja - und jetzt fehlen halt Klammern geschockt

geschockt

zumindest wenn es so gedacht ist ,
dass wohl das -n/2 auch noch zum Grenzwert-Term dazugehören möchte verwirrt

verwirrt

nebenbei:
du vergnügst dich hier ja im Bereich der Hochschulmathematik, aber vielleicht
kennst du nichtsdestotrotz die hübsche Geschichte vom kleinen Schüler
namens Gauss und der Summe der ersten 100 natürlichen Zahlen?
.

28.12.2010, 10:56

Eyvan

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Peinlich,peinlich hätte gestern schlafen gehen sollen

Man braucht:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k =\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Edit: Ja, die Geschichte kenn ich.

28.12.2010, 13:01

corvus

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Zitat:

Original von Eyvan

Edit: Ja, die Geschichte kenn ich.

schön, aber dass du da oben noch Klammern setzen soltest
hast du anscheinend immer noch nicht geschnallt?

und ausserdem: was macht nun deine Forschung zum wahren
Grenzwert - bist du immer noch der Meinung : "Grenzwert - unendlich " ?

.

28.12.2010, 15:20

Eyvan

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Achso ne Klammern setzen ist schon klar. in Drei Teile aufgliedern. (Hat ich aber anfangs angedeutet)

Und ja ich bin noch der Ansicht, dass der letzte Teil den Grenzwert unentlich hat

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n/2=\infty \end{eqnarray*}$ aber wenn du so fragst muss ich wohl auf dem Holzweg sein. Klär mich bitte auf.

28.12.2010, 15:34

klarsoweit

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Poste mal deine Rechnung und dann sehen wir weiter.

28.12.2010, 16:41

Eyvan

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{1}{n+2})( \sum\limits_{k=1}^n k)-(n/2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{1}{n+2})*\lim_{n \to \infty } ( \sum\limits_{k=1}^n k)-\lim_{n \to \infty } n/2 \end{eqnarray*}$

Einsetzen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k =\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{1}{n+2})*\lim_{n \to \infty } (=\frac{n(n+1)}{2}-\lim_{n \to \infty } n/2 \end{eqnarray*}$

Wär dann 0*unendlich –unendlich.
Wobei doch 0*unendlich nicht definiert ist …

28.12.2010, 18:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von Eyvan
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{1}{n+2})*\lim_{n \to \infty } ( \sum\limits_{k=1}^n k)-\lim_{n \to \infty } n/2 \end{eqnarray*}$

Hier werden in sträflicherweise Grenzwertsätze mißachtet.

Zitat:

Original von Eyvan
Wobei doch 0*unendlich nicht definiert ist …

Das ist das einzig richtige an dem Beitrag.

Du mußt schon noch einige Termumformungen machen, bevor du den Grenzwert bildest.

28.12.2010, 18:18

dr.morrison

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Guten Abend.

Die Aufgabe ist wirklich nicht so schwer. Noch einmal ein Tipp: Wenn die Summe vereinfacht ist, einfach erweitern, und dann die Grenzwertsätze anwenden, wie schon oben geschrieben wurde von klarsoweit. Lg, dr.morrison

28.12.2010, 20:44

Eyvan

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Zitat:

Original von Eyvan
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{1}{n+2})*\lim_{n \to \infty } ( \sum\limits_{k=1}^n k)-\lim_{n \to \infty } n/2 \end{eqnarray*}$

Dürft ich nur, wenn hier alle Teile konvergenz wären nicht wahr???

Zur Umformung (würd ich so machen):

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1}*\frac{n(n+1)}{2} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+2-1)}{(n+2)*2} = \frac{n(n+2)}{(n+2)*2}+\frac{-n}{(n+2)*2} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2}+\frac{-n}{(n+2)*2}=\frac{n*(n+2)-n}{(n+2)*2}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{n^2+3n}{(n+2)*2} \end{eqnarray*}$

Verkehrt oder näher dran und was kommt dann.
(Hab das ganze einfach viel zu lange nicht mehr gemacht)

28.12.2010, 21:12

corvus

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Zitat:

Original von Eyvan

(Hab das ganze einfach viel zu lange nicht mehr gemacht)

vergiss also deinen Rechenzauber und bemühe dich , unter Verwendung der
elementaren Regeln des Bruchrechnens die beiden Brüche zuerst auf den
Hauptnenner zu bringen und dann nach der Subtrraktion das Ergebnis
so einfach wie möglich zu notieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+2}*\frac{n(n+1)}{2}- \frac{n}{2} =<br /> <br /> <br /> \frac{1}{2} * \left[ \frac{?}{?} -\frac{?}{?} \right] = ? \end{eqnarray*}$

.

29.12.2010, 16:14

Eyvan

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}* \frac{n^2}{n+2} =\frac{n^2}{2n+4} \end{eqnarray*}$
Grenzwert ist $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

Ich danke euch.

29.12.2010, 23:12

corvus

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Zitat:

Original von Eyvan
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}* \frac{n^2}{n+2} =\frac{n^2}{2n+4} \end{eqnarray*}$

Grenzwert ist $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geschockt

geschockt

Ich danke euch.

da gibt es noch nichts zu danken, denn was du
hier anbietest ist grausam falsch.

vielleicht kann dir deine kleine Schwester etwas helfen?
Aufgabe: Berechne die Differenz der beiden Brüche:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+2}*\frac{n(n+1)}{2}- \frac{n}{2} = ... \end{eqnarray*}$

probier es also nochmal..

30.12.2010, 18:10

Eyvan

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$\begin{eqnarray*} =- \frac{n}{2n+4} \end{eqnarray*}$

Grenzwert n gegen unendlich ist -0,5.

Kann ja verstehen, dass ich hier viel Geduld abfordere. Aber jedem kann auch mal die elementarste Rechenregel (kurzzeitig) in einer schwachen Sekunde entfallen, da muss man noch nicht anfangen einen zu verarschen.

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