Ebene durch 2 punkte, winkel

27.12.2010, 23:13	matze_ka	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebene durch 2 punkte, winkel Folgende Aufgabe macht mir schon die ganze Zeit Kopfschmerzen: Bestimmen Sie die Gleichung der Ebenen, die durch die Punkte P(0/2/0) und Q(2/0/0) gehen und einen Winkel von 60° mit der xy-Ebene bilden. kann mir jemand dazu einen Ansatz nennen?
27.12.2010, 23:28	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Winkel mit der xy-Ebene gibt dir Informationen über den Normalenvektor der gesuchten Ebenen.
27.12.2010, 23:36	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebene durch 2 punkte, winkel Hallo matze, Stell dir einen Kegel mit 30 ° halbem Kegelwinkel, der Achse parallel zur z-Achse und der Spitze die x-y-Ebene berührend vor. Daran kannst du die Ebene anlegen und herumdrehen. Damit kriegst Du eine Idee von den möglichen Normalenvektoren der Ebene. Die Anordnung kannst Du auch noch auf der x-y-Ebene herumschieben, um die Punkte zu erfüllen. Evtl. kommst du mit diesen Ideen weiter.
28.12.2010, 14:06	matze_ka	Auf diesen Beitrag antworten »
hm ich weiß, dass sich der normalvektor der gesuchten ebene und der normalvektor der xy-Ebene der ja logischer weiße (0,0,1) sein müsste in einem winkel von 60° schneiden muss. aber wenn ich nun die formel des skalarproduktes aufstelle um den gesuchten normalvektor zu finden, komme ich nicht weiter.
28.12.2010, 15:53	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst Folgendes versuchen: Tangentialvektor $\begin{eqnarray} \vec t \end{eqnarray}$ an den Kegel parallel zur x-y-Ebene formulieren und den Mantelvektor $\begin{eqnarray} \vec m. \end{eqnarray}$ Beide sind vom Azimutwinkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ abhängig. Das Kreuzprodukt beider ist gleich dem Normalenvektor $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ der Ebene. Einen Basisvektor der Ebene, sagen wir $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ , hat du schon aus den zwei gegebenen Punkten. Einen zweiten bekommst du aus dem Kreuzprodukt von $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ . Jetzt kannst die Ebenengl. in Parameterform mit einem der beiden Punkte als Stützpunkt aufstellen und den anderen einsetzen. Das ist dann eine Bestimmungsgl. für die beiden Ebenenparameter und $\begin{eqnarray} \varphi. \end{eqnarray}$ Ich habe das nicht durchgerechnet. Die Schwierigkeit könnte darin bestehen, das die drei Gleichungen wegen cos und sin von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ nicht linear sind. edit: Ich habe mir erst jetzt die spezielle Lage der Punkte (in der x-y-Ebene) angeschaut. Dafür ist mein Ansatz unnötig allgemein. Die einfachere Version: Bestimme $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ aus P und Q und einen senkrecht darauf stehenden Vektor in der x-y-Ebene. Dem kannst du eine z-Koordinate zufügen, so dass er die 60 °-Bedingung erfüllt. Jetzt hast du beide Basis-Vektoren der Ebene. Der Rest ist wahrscheinlich einfach.
28.12.2010, 16:27	matze_ka	Auf diesen Beitrag antworten »
ja die schwierigkeit ist denke ich den vektor zu finden, der die xy-Ebene in 60° schneidet. einen finden würde ich sicherlich.. aber wie kann ich dann rechnerisch und logisch bestimmen?
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28.12.2010, 17:35	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Rezept fängt so an: $\begin{eqnarray} \overrightarrow {PQ}=\vec a= \vec Q-\vec P =\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist ein Basisvektor der Ebene. $\begin{eqnarray} \vec {n}=\begin{pmatrix} -a_y \\a_x \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ steht senkrecht darauf und liegt in der x-y-Ebene. $\begin{eqnarray} \vec {b}=\begin{pmatrix} -a_y \\a_x \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ steht auch senkrecht darauf und soll 2. Basisvektor der Ebene werden. Jetzt kannst du die bekannten Zahlen einsetzen und (mit Betragsbildung und dem Tangens) $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ so bestimmen, dass die Winkelbedingung erfüllt wird. Dann hast du auch $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ bestimmt, den 2. Basisvektor der Ebene. Der Rest ist wahrscheinlich einfach. Zum Schluss gibt es dann noch eine 2. Lösung.

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