"Exponential-Eormalverteilung"

28.12.2010, 01:01	uvbng	Auf diesen Beitrag antworten »
"Exponential-Eormalverteilung" Meine Frage: Hallo Bei vielen Experimenten in der Physik wird ein exponentieller Zusammenhang $\begin{eqnarray} e^{\alpha x} \end{eqnarray}$ gemessen. Um $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ zu bestimmen werden nun alle Werte "logarithmiert" und anschließend durch lineare Regression der Parameter $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ als Steigung der gewonnen Geraden extrahiert. Hierbei vernachlässigt man jedoch, dass die lineare Regression bzw, die Methode der kleinsten Quadrate im Allgemeinen nur für Werte mit gaussverteilten Fehlern anwendbar ist. Ich kann durch Simulationsprogramme qualitativ zeigen, dass nach der "Logarithmierung" keine gaussverteilten Fehler mehr vorliegen. Meine Ideen: Jetzt möchte ich das ganze analytisch betrachten. Ich möchte die gaussverteilten ZZ transformieren. Angenommen ich messe wiederholt einen Messwert $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ mit einem gaußverteilten Fehler $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ . Meine Messwerte folgen nun der Gaußverteilung $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{2\sigma^{2}}} \end{eqnarray}$ . Wenn ich diese Werte nun logarithmiere, dann erhalte ich über die Variablentransformation $\begin{eqnarray} g(y)dy=f(x)dx \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y=ln(x) <-> x=e^{y} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} g(y)=\frac{dx}{dy}f(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{dx}{dy}=e^{y} \end{eqnarray}$ führt zu $\begin{eqnarray} g(y)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{y-\frac{\left(e^{y}-x_{0}\right)^{2}}{2\sigma^{2}}} \end{eqnarray}$ Sind meine Annahmen soweit korrekt? Ist die neue Verteilung diejenige, die ich erhalte, wenn ich die Messwerte logarithmiere? Wenn dem so ist, wie kann ich hier den Erwartungswert bzw. die Varianz berechnen? Ich komme bei dem Intergral nicht weiter, bzw finde keine helfende Substitution. Bin für jede Hilfe sehr dankbar.

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