Funktion mit Parameter

28.12.2010, 10:35

yogi34

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Funktion mit Parameter

Ich habe hier eine Funktion mit einem Parameter $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = f(x) = \frac{a + ln(ax)}{x^2} \end{eqnarray*}$

der Parameter $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ soll so bestimmt werden das an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_{E} = 2\sqrt[4]{e} \end{eqnarray*}$

ein extremum entsteht.

mit was sollte ich dort anfangen?

28.12.2010, 10:36

Cel

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Du solltest mit der notwendigen Bedingung für Extremwerte beginnen. Wie lautet sie in diesem Falle?

28.12.2010, 10:41

yogi34

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man muss die erste ableitung bilden von der funktion und die "nullstelle" errechnen, also gucken für welchen wert die funktion null wird.

die "nullstelle" dann in die 2. ableitung einsetzen und wenn es größer als null ist dann ist es ein minimum und für kleiner null ein maximum

richtig?

28.12.2010, 10:57

Cel

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Fast. Die Nullstelle (also den x-Wert) musst du eben nicht ausrechnen, du hast sie schon gegeben. Du musst den Parameter a ausrechnen so dass die Nullstelle auch wirklich eine ist. Ganz falsch ist das, was du sagst, also nicht.

28.12.2010, 11:05

yogi34

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achso, also setze ich die extremstelle die ich schon gegeben habe in die 1. ableitung ein und löse die gleichung nach a auf

$\begin{eqnarray*} y = f(x) = \frac{a + ln(ax)}{x^2} \end{eqnarray*}$

da muss ich ja die quotientenregel anwenden

$\begin{eqnarray*} u = a+2ln(ax) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v = x^2 \end{eqnarray*}$

muss ich jetzt nach a oder x ableiten?

28.12.2010, 11:10

Cel

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Dein u stimmt so nicht, die 2 vor dem Logarithmus müsste weg (oder die Funktion vorher stimmt nicht).

Du musst nach x ableiten, die Funktion heißt ja schließlich f(x).

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28.12.2010, 11:25

yogi34

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ich habe die 2 bei der funktion vergessen Hammer

Hammer

$\begin{eqnarray*} u' = a+2*\frac{1}{ax} \end{eqnarray*}$

aber das ist glaube ich falsch da man ja die summen-, produkt- und die kettelregel anwenden muss oder?

dann komme ich auf das $\begin{eqnarray*} u' = \frac{2a}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v' = 2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{u'*v - u*v'}{v^2} \end{eqnarray*}$

dann das u' und v' eingesetzt ergibt:

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{(\frac{2a}{x}*x^2)-(a+2ln(ax)*2x)}{x^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{4*ln(ax)}{x^3} \end{eqnarray*}$

kann das so stimmen, oder bin ich da falsch vorgegangen?

28.12.2010, 11:57

Cel

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Dein u' stimmt weder in der einen, noch in der anderen Fassung. Das a ist eine konstante Zahl, was passiert mit ihr beim Ableiten (das stimmte bei Fassung 2)? Dann musst du beachten, dass im Logarithmus eine innere Funktion steht, du musst also eine innere Ableitung nachmultiplizieren. Grundsätzlich stimmt aber dein Vorgehen (also Quotientenregel anwenden).

28.12.2010, 13:15

yogi34

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so, neuer versuch!!

$\begin{eqnarray*} u' = \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v' = 2x \end{eqnarray*}$

dann in die formel eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{2 - 2a - 4ln(ax)}{x^3} \end{eqnarray*}$

jetzt ist es aber richtig oder?

dann setze ich das extremum in x ein und muss dann noch nach a umstellen?

28.12.2010, 13:26

Cel

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Genau, du setzt die gewünschte Extremstelle ein. Und denk dran, dass der Term gleich Null sein muss.

28.12.2010, 16:08

yogi34

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der zähler muss null werden, d.h.

$\begin{eqnarray*} -a-2ln(a*2\sqrt[4]{e}) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -a = 2ln(a*2\sqrt[4]{e}) \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} / :2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-a}{2} = ln(a*2\sqrt[4]{e}) \end{eqnarray*}$ dann das ganze $\begin{eqnarray*} / *e \end{eqnarray*}$ um das ln weg zubekommen

$\begin{eqnarray*} \frac{-a*e}{2} = a*2\sqrt[4]{e} \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} /: 2\sqrt[4]{e} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{a*e}{4\sqrt[4]{e}} = a \end{eqnarray*}$

so erstmal richtig oder?

28.12.2010, 16:19

Cel

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Zitat:

Original von yogi34
$\begin{eqnarray*} y' = \frac{2 - 2a - 4ln(ax)}{x^3} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von yogi34
der zähler muss null werden, d.h.
$\begin{eqnarray*} -a-2ln(a*2\sqrt[4]{e}) = 0 \end{eqnarray*}$

Der Zähler muss Null werden, richtig. Aber du setzt ihn nicht gleich Null, woher kommt der Term?

Noch dazu musst du, wenn du den ln wegbekommen möchtest, nicht mal e nehmen, sondern beide Seiten in den Exponenten von e schreiben:

$\begin{eqnarray*} \ln(a) = b \Leftrightarrow a = e^b \end{eqnarray*}$

28.12.2010, 17:12

yogi34

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wenn ich den wert für x einsetze dann kann man im zähler und nenner kürzen, daher kommt $\begin{eqnarray*} -a-2ln(a*2\sqrt[4]{e}) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{2 - 2a - 4ln(ax)}{x^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{2 - 2a - 4ln(a*2\sqrt[4]{e})}{(2*\sqrt[4]{e})^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{2 - 2a - 4ln(a*2\sqrt[4]{e})}{8*e^{3/4}} \end{eqnarray*}$

dann kürzen
$\begin{eqnarray*} y'=\frac{1-a-2ln(a*2\sqrt[4]{e})}{4*e^{3/4}} \end{eqnarray*}$

29.12.2010, 10:18

Cel

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Zitat:

Original von yogi34
wenn ich den wert für x einsetze dann kann man im zähler und nenner kürzen, daher kommt $\begin{eqnarray*} -a-2ln(a*2\sqrt[4]{e}) \end{eqnarray*}$ [...]
$\begin{eqnarray*} y'=\frac{1-a-2ln(a*2\sqrt[4]{e})}{4*e^{3/4}} \end{eqnarray*}$

Unten stimmt es, aber oben fehlt die 1.

Also schreiben wir's auf: Du musst die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 1 - a - 2 \ln(2a \cdot \sqrt[4]{e}) = 0 \end{eqnarray*}$ lösen, und denk an meinen Hinweis von oben mit dem ln.

29.12.2010, 16:39

yogi34

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so ich habe hin und her probiert, aber das ich nun den faktor a eindeutig bestimmen kann, habe ich nicht hin bekommen

komme auf so etwas: $\begin{eqnarray*} ln(2a)=\frac{1}{4}-\frac{a}{2} \end{eqnarray*}$

durch probieren und so bin ich dann auf $\begin{eqnarray*} a = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ gekommen

29.12.2010, 17:15

Cel

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Sieht doch gut aus. smile

smile

Es ist durchaus in Ordnung, eine Lösung zu "sehen".

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