Definition eines Maßes

28.12.2010, 14:55	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition eines Maßes Meine Frage: Ist Folgendes korrekt? Spricht man von einem Maß, so meint man immer eine sigma-additive (man kann auch sagen: abzählbar additive) Mengenfunktion $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ auf einer sigma-Algebra. Ist diese sigma-Algebra eine Borel-sigma-Algebra, also gewissermaßen ein Spezialfall einer sigma-Algebra, so nennt man dieses Maß dann Borelmaß. Wenn man hingegeben von einer endlich-additiven Mengenfunktion $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ spricht, so meint man, dass diese auf einer (Booleschen) Algebra "agiert" und man spricht nicht von einem Maß, sondern belässt es einfach bei der Bezeichnung Mengenfunktion. Meine Ideen: Kann mir das jemand bestätigen oder gegebenenfalls korrigieren?
28.12.2010, 14:59	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Jimmy Wales hilft gern. http://de.wikipedia.org/wiki/Ma%C3%9Ftheorie#Ma.C3.9F Beantworte die Frage also selber - ist deine Definition ausreichend? air
28.12.2010, 15:03	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ging mir nicht um eine umfassende Definition des Maßbegriffs. Es ist mir klar, dass noch mehr Bedingungen erfüllt sein müssen. Es ging mir nur darum, ob es stimmt, dass man im Zusammenhang mit dem Begriff "Maß" immer von sigma-Algebren und sigma-Additivität spricht. Desweiteren finde ich einen Wikipedia-Link als Antwort nicht gerade angemessen. Es ist klar, dass man sich zuallererst dort oder auf anderen ähnlichen Seiten informiert und erst dann hier nachfragt.
28.12.2010, 16:54	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich denke, dass du das richtige meinst. Ich sage das aber ohne Gewähr, weil ich so nicht 100% sicher bin, ob ich dich richtig verstanden habe. Also die Begriffe sigma-additiv und Sigma-Algebra hängen schon mit dem Begriff Maß zusammen und zwar wie folgt: Ein Maß ist auf einer Sigma-Algebra definiert, d.h. konkret , wenn $\begin{eqnarray} \mu : \mathcal A \to \left[0, \infty \right] \end{eqnarray}$ ein Maß sein soll, dann muss u.a. $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ - Algebra darstellen. Weiterhin ist $\begin{eqnarray} \mu(\bigcup_{n\in \mathbb N}A_n)=\sum_{n \in \mathbb N} \mu(A_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A_i \in \mathcal A ~ ~ \forall i\in \mathbb N \end{eqnarray}$ eine weitere Bedingung, die die Abbildung $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ erfüllen muss, um ein Maß zu sein und das war ja gerade die sigma-additivität.
28.12.2010, 16:57	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Das war genau meine Frage. Auch, wenn Du sagst, dass Du Dir nicht absolut sicher bist, so passt das, was Du sagst zu meiner Mitschrift. Und es bestätigt meine eigenen Überlegungen. Dies alles in Kombination müsste eigentlich korrekt sein.
28.12.2010, 16:57	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
P.S.: Wenn man die Bedingung , dass $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra sein soll, weglässt, dann erhält man mit $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ ein Prämaß. Eine Art Vorstufe zum Maß. Ich versuchs nochmal bisschen ausführlicher: Wir sagen $\begin{eqnarray} \mathcal R \end{eqnarray}$ ist der Ring, der von den halboffenen Quadern erzeugt wird. Dann wäre $\begin{eqnarray} \mu: \mathcal R \to \left[ 0 , \infty \right] \end{eqnarray}$ ein Prämaß, falls es die Bedingungen $\begin{eqnarray} \newline <br /> 1.) ~ \mu(\emptyset)=0<br /> \newline<br /> 2.) ~ \mu(\bigcup_{n \in \mathbb N}A_n)=\sum_{n\in \mathbb N} A_n \end{eqnarray}$ erfüllt. Betrachtet man nun mit $\begin{eqnarray} \sigma(\mathcal R) \end{eqnarray}$ die (Borel)-Sigma-Algebra, die von $\begin{eqnarray} \mathcal R \end{eqnarray}$ erzeugt wird, so kann man $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ (unter einer weiteren schwachen Voraussetzung) zu einem Maß fortsetzen (Satz von Caratheodory!), also wäre $\begin{eqnarray} \mu: \sigma(\mathcal R) \to \left[ 0,\infty \right] \end{eqnarray}$ dann sogar ein Maß.
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28.12.2010, 17:30	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, Caratheodory! Der Name kommt mir bekannt vor, der ist in der Vorlesung irgendwann mal gefallen, ohne dass ich so wirklich verstanden habe, zu welchem Zweck. Dein Beitrag klärt den Zweck ein bisschen auf.

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