Praxisaufgabe Matrizenrechnung

28.12.2010, 16:36	markus.wolf.1989	Auf diesen Beitrag antworten »
Praxisaufgabe Matrizenrechnung Hallo, da bald meine Klausur in Operations Research anfällt und ich noch viel zu unzureichend vorbereitet bin wende ich mich an euch. Leider war mein Dozent eine komplette Niete oder wir haben einfach nicht zusammengepasst. Das was ich aus den Vorlesungen mitnehmen konnte kommt der Null ziemlich nah. Um die Klausur bestehen zu können muss ich mir das aber trotzdem irgendwie aneignen (aus den Skripten und Mitschriften werde ich leider nicht schlau). Hier schon mal ein "Danke" im voraus So nun bring ich es mal auf den Punkt: 1. In einem Unternehmen werden aus den drei Rohstoffen R1, R2 und R3 zunächst die drei Zwischenprodukte Z1, Z2 und Z3 und aus ihnen die Endprodukte E1, E2, E3 hergestellt. Die beiden Technologie Matrozen Mrz für den ersten Produktionsabschnitt bzw. Mze für den zweiten seien Mrz = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mze = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie die Technologiematrix Mre für den gesamten Produktionsprozess, also für die Herstellung der Endprodukte aus den Rohstoffen! Wie hoch ist der Rohstoffverbrauch für den Produktionsplan P = (35 20 40)T? Die Einkaufspreise der Rohstoffe seien q = (4 3 5)T, die Verkaufspreise für die Endprodukte r = (200 410 320)T. Wie hoch sind Kosten, Erlös und Gewinn der Produktion? Der Anbieter erhöht die Rohstoffpreise auf q* = (5 5 5)T. Weil das Unternehmen an langfristige Verträge gebunden ist, kann nur der Preis für E2 angepasst werden. Wie hoch muss er sein, damit derselbe Gewinn erzielt wird wie vor der Anhebung der Rohstoffpreise? 2. Ihr Unternehmen stellt aus vier Rohstoffen zunächst drei Zwischenprodukte her, aus denen anschließend zwei Endprodukte gefertigt werden. Die Technologiematrizen der beiden Produktionsabschnitte und die Einkaufspreise der Rohstoffe sind: Mrz = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 2 & 0 & 7 \\ 3 & 5 & 0 \\ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mze = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 4 & 0 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wieviele Einheiten jedes der vier Rohstoffe sind nötig, um eine Einheit jedes der beiden Endprodukte herzustellen? Wie hoch ist der gesamte Rohstoffbedarf für die Realisierung des Produktionsplans P = (10 20)T? Was kostet die Herstellung je einer Einheit jedes Endprodukts? Ich danke schon mal für eure Hilfe!
28.12.2010, 17:01	gotfried	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibt man die Gleichungen in Matrixform sieht das ja für jeden Produktionsschritt so aus $\begin{eqnarray} M\cdot R = E \end{eqnarray}$ Wobei M die jeweilige Technologiematrix, R den Rohstoff bzw. Zwischenproduktvektor und E den Zwischenprodukt- bzw. Endproduktvektor darstellt. Stellt einfach für jeden Produktionsschritt eine solche Gleichung auf und versucht die beiden Gleichungen mit den Regeln der Matrizenrechnung zusammenzufassen - schon habt ihr eure gesuchte Matrix.
29.12.2010, 08:27	markus.wolf.1989	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst mal vielen Dank für die schnelle Antwort. Und wie sieht das dann konkret aus? M * R = E ist für mich jetzt nicht so aussagekräftig. Tut mir leid, dass ich mich so glatt anstelle...
29.12.2010, 08:47	gotfried	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil du den Vektor R nicht zahlenmäßig gegeben hast bringt hier ein Darstellung der Matrizengleichung in Koordinatenform nichts. Du musst hier versuchen aus den zwei Technologiematrizen eine zu machen: Angenommen M ist deine Technologiematrix und R dein Rohstoffvektor, dann berechnest du deine Zwischenprodukte über die Gleichung $\begin{eqnarray} M_1\cdot R=Z \end{eqnarray}$ . Du erhältst einen Vektor $\begin{eqnarray} Z=\begin{pmatrix}Z_1\\Z_2\\Z_3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Dieser ist dann dein Rostoffvektor für den zweiten Produktionsschritt: $\begin{eqnarray} M_2\cdot Z=E \end{eqnarray}$ . Diese zwei Gleichungen lassen sich nun zu einer zusammenfassen.
29.12.2010, 09:24	markus.wolf.1989	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay. Langsam kommt bei mir Licht ins Dunkel. Wir haben also die Rohstoffe gar nicht gegeben -> Ich dachte das hätte was mit dem Produktionsplan P zu tun... Wenn man es jetzt im Kontext der Sachaufgabe sieht, was stellt dann die Technologiematrix dar? Was sagt die eigentlich aus? Ich habe jetzt einfach mal das gemacht was du mir aufgetragen hast. Das sieht dann folgendermaßen aus: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} R_{1} \\ R_{2} \\ R_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3R_1 + 2R_2 + 3R_3 \\ 4R_1 + 0 + 3R_3 \\ 1R_1 + 5R_2 + 1R_3 \end{pmatrix} = Z<br /> \end{eqnarray}$ Und dann soll ich meinen zweiten Produktionsschritt damit multiplizieren? $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3R_1 + 2R_2 + 3R_3 \\ 4R_1 + 0 + 3R_3 \\ 1R_1 + 5R_2 + 1R_3 \end{pmatrix} = E<br /> \end{eqnarray}$ Und wie mache ich das? Das wird doch ein riesiges Gewusel von Buchstaben und Zahlen?!
29.12.2010, 09:34	gotfried	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau diese Gewusel umgeht man, wenn man nicht in Koordinatenform rechnet. Bei der 1. Gleichung erhältst du Z, was du aber nicht brauchst. Also ersetze doch Z in der 2. Gleichung mit dem Term aus der ersten der Z entspricht. Du musst nur beachten, dass Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist - also nichts vertauschen. Die erste Frage hatte ich überlesen: Die Technologiematrix lässt sich am besten am Beispiel erklären. Wie du an deiner ausmultiplizierten Matrix Z erkennst geht in jedes deiner Zwischen Produkte ein bestimmter Anteil deiner drei Rohstoffe ein. Diese Anteile sind in der Technologiematrix zusammengefasst.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »