Wiener Prozess

28.12.2010, 18:56

Der Rechenknecht

Wiener Prozess

Meine Frage:
Guten Abend

Ich habe eine Aufgabe, komme aber nicht so recht weiter und hoffe, dass mir eine(r) auf die Sprünge helfen kann. Sei $\begin{eqnarray*} W_{t} \end{eqnarray*}$ eine standardisierte Brownsche Bewegung. Bestimmen soll man nun
(a) die Varianz von $\begin{eqnarray*} X:= W_{4}-2W_{1} \end{eqnarray*}$ ,
(b) den Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} Y_{t}= \frac{1}{t} W_{t}^{2} \end{eqnarray*}$ ,
(c) die Kovarianz von $\begin{eqnarray*} Y_{t} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y_{s} \end{eqnarray*}$ für 0<s<=t.

Meine Ideen:
ad (a)
$\begin{eqnarray*} Var(X):= Var(W_{4}-2W_{1})=Var(W_{4})+Var(2W_{1})-2Cov(W_{4},2W_{1})=4+4\cdot 1-2Cov(W_{4},2W_{1}) \end{eqnarray*}$ . Kann mir einer mit dem Term $\begin{eqnarray*} 2Cov(W_{4},2W_{1}) \end{eqnarray*}$ weiterhelfen? oder ist dieser einfach 2x1, da $\begin{eqnarray*} Cov=min\{t,s\}=min\{1,4\}=1 \end{eqnarray*}$

ad (b)
$\begin{eqnarray*} E(Y_{t})= \frac{1}{t} E(W_{t}^{2}) \end{eqnarray*}$ aber, da $\begin{eqnarray*} W_{t} \sim N(0,1) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} W_{t}^{2} \end{eqnarray*}$ dann nicht $\begin{eqnarray*} \chi^{2} \end{eqnarray*}$ und somit hier $\begin{eqnarray*} E(Y_{t})= \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ ?

ad (c) habe ich noch keine Ahnung, sorry ;-(

28.12.2010, 19:10

René Gruber

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RE: Wiener Prozes

Zitat:

Original von Der Rechenknecht
da $\begin{eqnarray*} W_{t} \sim N(0,1) \end{eqnarray*}$

Nein, es ist $\begin{eqnarray*} W_{t} \sim N(0,t) \end{eqnarray*}$ .

28.12.2010, 19:34

Stata

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RE: Wiener Prozes
Habe so eine ähnliche Aufgabe, der Erwartungswert ist bei mir daher auch gleich 1, da $\begin{eqnarray*} E[Y_{t}]=\frac{1}{t} \cdot t=1 \end{eqnarray*}$ . Bei c) komme auch auch nicht weiter.

29.12.2010, 23:59

René Gruber

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Zu c): Wie in b) festgestellt wurde, ist $\begin{eqnarray*} E(Y_s)=E(Y_t)=1 \end{eqnarray*}$ . Es folgt

$\begin{eqnarray*} \operatorname{cov}(Y_s,Y_t) = E(Y_sY_t)-E(Y_s)E(Y_t) = \frac{E(W_s^2W_t^2)}{st}-1 \end{eqnarray*}$ .

Nun kann man benutzen, dass der Wienerprozess unabhängige Zuwächse hat, d.h., dass die beiden Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} W_s\sim\mathcal{N}(0,s) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (W_t-W_s)\sim\mathcal{N}(0,t-s) \end{eqnarray*}$ unabhängig sind:

$\begin{eqnarray*} E(W_s^2W_t^2) = E(W_s^2(W_s+(W_t-W_s))^2) = E(W_s^4+2W_s^3(W_t-W_s)+W_s^2(W_t-W_s)^2) = E(W_s^4) + 2E(W_s^3)E(W_t-W_s)+E(W_s^2)E((W_t-W_s)^2) = \ldots \end{eqnarray*}$

Das weitere ist mit Standardkenntnissen über die Normalverteilung berechenbar.

30.12.2010, 08:24

Stata

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Guten Morgen

Ich will mal weiter machen:
zu b) Auf den ersten Blick habe ich auch gedacht, es handelt sich um eine $\begin{eqnarray*} \chi^{2} \end{eqnarray*}$ -Verteilung. Habe aber nun meine Zweifel: Wenn doch die ZV X $\begin{eqnarray*} \sim N(0,1) \end{eqnarray*}$ ist, dann ist doch $\begin{eqnarray*} X^{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \chi^{2} \end{eqnarray*}$ verteilt. Aber wir haben hier ja eine $\begin{eqnarray*} W_{t}\sim N(0,t) \end{eqnarray*}$ ZV, also keine NV-ZV. Oder mache ich einen Denkfehler?

zu c) Ich habe mal etwas gestöbert und bin bisher auf so etwas gestossen: Für $\begin{eqnarray*} X\sim N(0,\sigma_{x}^{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y\sim N(0,\sigma_{Y}^{2}) \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} E[X^{2}Y^{2}]=E[X^{2}]E[Y^{2}]+2[E[XY]^{2} \end{eqnarray*}$ .

Dann kann ich doch schreiben:
$\begin{eqnarray*} Cov[X^{2},Y^{2}]=E[X^{2}Y^{2}]-E[X^{2}]E[Y^{2}]=E[X^{2}Y^{2}]=E[X^{2}]E[Y^{2}]+2[E[XY]^{2}-E[X^{2}]E[Y^{2}] =2E[XY]^{2} \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} X=\frac{1}{t}W_{t}^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y=\frac{1}{s}W_{s}^{2} \end{eqnarray*}$ folgt dann:

$\begin{eqnarray*} Cov[X^{2},Y^{2}]=\frac{2}{(s\cdot t)^{2}}E[W_{t}^{2}W_{s}^{2}]^{2} \end{eqnarray*}$ .

30.12.2010, 12:12

René Gruber

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Keine Ahnung, was du da berechnen willst - bei Rechenknecht war es jedenfalls

Zitat:

Original von Der Rechenknecht
(c) die Kovarianz von $\begin{eqnarray*} Y_{t} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y_{s} \end{eqnarray*}$ für 0<s<=t.

mit deinen Abkürzungen $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ wäre das dann $\begin{eqnarray*} \operatorname{cov}(X,Y) \end{eqnarray*}$ statt des von dir nun plötzlich betrachteten $\begin{eqnarray*} \operatorname{cov}(X^2,Y^2) \end{eqnarray*}$ . verwirrt

30.12.2010, 13:49

Stata

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Ok, Weihnachten hat mir nicht gut getan... langsam wird es peinlich Hammer

$\begin{eqnarray*} Cov(Y_{t},Y_{s})= E(Y_{t}Y_{s})-E(Y_{t})E(Y_{s})=\frac{1}{st}E(W_{t}^{2}W_{s}^{2})-1 \end{eqnarray*}$

Die 1 folgt aus b) (wobei ich es immer noch nicht verstehe warum...)
Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} Cov(Y_{t},Y_{s})=\frac{1}{st}E(W_{t}^{2}W_{s}^{2})-1= \frac{1}{st}(E(W_{t}^{2})E(W_{s}^{2})+2E(W_{t}W_{s})^{2})-1<br /> \end{eqnarray*}$

und dann

$\begin{eqnarray*} Cov(Y_{t},Y_{s})=\frac{1}{st}(1\cdot 1+2E(W_{t}W_{s})^{2}-1=\frac{1}{st}(1+2E(W_{t}W_{s})^{2})-1 \end{eqnarray*}$

Ist aber $\begin{eqnarray*} E(W_{t}W_{s})=0 \end{eqnarray*}$ , so dass man einfach $\begin{eqnarray*} Cov=\frac{1}{s\cdot t}-1 \end{eqnarray*}$ erhält? Aber irgendwie stimmt da was nicht...

30.12.2010, 14:56

René Gruber

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Dass du meinen Beitrag oben ziemlich ignorierst, nehme ich dir nicht krumm, denn anscheinend bist du ein ziemlicher Anhänger der Formel

Zitat:

Original von Stata
Für $\begin{eqnarray*} X\sim N(0,\sigma_{x}^{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y\sim N(0,\sigma_{Y}^{2}) \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} E[X^{2}Y^{2}]=E[X^{2}]E[Y^{2}]+2[E[XY]]^{2} \end{eqnarray*}$ .

die mir zwar unbekannt war, aber anscheinend doch richtig ist. Allerdings setzt du dann falsch ein:

Es ist $\begin{eqnarray*} E(W_t^2)=t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(W_s^2)=s \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} E(W_tW_s) = \min(s,t) = s \end{eqnarray*}$ .

31.12.2010, 16:49

Stata

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gut, ich habe mich etwas darauf eingeschossen... aber danke für die Hilfe, ich habe jetzt endlich alles verstanden. Hat ja auch etwas gedauert... Einen guten Rutsch und ein gutes Neues Jahr.

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